ココネ なう。

shall です。よくイギリス英語では shall が、アメリカ英語では will が使われると
いうことがありますが、正確ではありません。
米国憲法には shall のオンパレードがみられ、契約文なども英米関係なく shall がいくらでも使われます。
shall の本質的な意味（コア）は「何かをすることを負うている」というものです。
このことから、shall の用法の根底には「義務・当然・責務」の意味合いがあることが分かります。
このことを念頭に意味の展開を考えてみましょう。

まず、第一に、「主語＝話者が〜することを負うている」ということから、
主語＝話者の「決意・意志」を示して「〜しよう」「きっと〜するでしょう」の意味合いになります。
e.g., I shall never forget your kindness.
（あなたの親切は決して忘れません←あなたの親切を忘れないことを自らに負わせる）

第二に、「〜することを負うている」ということには、＜当然〜することになっている＞ということが含意され
「〜すべし」「〜するものである」「〜するものとなっている」といった
「規定」「当然、義務」「天命」〔責務〕などの意味合いが生まれます。
この典型例は、法律文書や契約書などで使われる shall です。これはよく使われます。

第三に、相手に対して「（自分は）〜することを負うているか」と問いかけることで
（疑問文で）「〜しましょうか」という「提案・申し出」の意味合いになります。
What shall I do NOW?（何をしましょうか）は「何をすることを私は負うているだろうか」ということです。

shall の本質は「何かをすることを負うている」だと理解すれば、
should の「義務」を含む意味合いともつながってくると思います。
つまり、should は shall の過去形ですから「何かすることを負うた」ということで、
「当然〜してしかるべきだが、未だなされていない」という意味合いになるということです。
ちなみに、結婚式の誓約のコトバに、Will you love her … で始まり、
as long as you both shall live で終わる文章があります。
この Will you love her .. は新郎の意志を問う表現ですが、
as long as you both shall live の場合は「命ある限り」ということですが、
「天命により生かされる限り」という意味合いですね。

過去のことを述べる際に使う would をみましょう。will は現在の意志・推量を表す助動詞です。
would は過去においける意志・推量を表すということになります。例えば、
I asked her to lend me some money, but she wouldn’t even answer.
（お金を貸してもらえるように彼女に頼んだが、返事をしようともいなかった）
は「意志」の例です。自分の意志表示として「ある行為を行うことを拒否する」というものです。
関連したものとして、「過去の習慣や習性」を表すという使い方があります。
「自ら進んで（自分の意志で）〜したものだ」というニュアンスを読み取ることができます。
そして、結果として、「懐かしむ思い」を伴うことが多く、小説などに多用される用法だといえます。
例えば、I would often stay up all night and listen to the radio. だと
「よく夜遅くまで起きていてラジオを聴いていたものだ」という内容です。

今度は、過去における推量の例です。過去のある時点から先のことを展望して推量するという would があります。
例えば、カバンを抱えて汽車をホームで待っているという状況を想定してください。
そして、その汽車はぼくらを約束の地に連れて行ってくれるはずのものという状況です。

We were at the railroad station with our bags, waiting for the train that would take us to the promising land.
僕らはカバンを持って駅で汽車を待っていた、その汽車は僕らを約束の地に連れて行ってくれるはずのものであった。

駅で汽車を待っていた時点では、約束の地に行くというのは先の話なので「過去における未来」となり、
これは過去の推量の例です。小説などでは欠かせない用法ですね。

過去ではなく、現在の仮想状況に言及する would があり、これは日常会話ではよく使われます。
That would be nice. は「それはそうなればすばらしいですね」という意味合いですが、
「もしそういう事態が仮に起こったとすれば、それはすばらしいことだろう」という仮想の推量の例です。
I wouldn't do it. は「私ならそんなことはしないだろう」という意味合いですが、
「もし私がその立場だったらそんなことはしない」という仮想の状況における意志の表現です。
I'd like to do it. （わたしはそうしたい）にしても
「もし叶うとはかぎらないが、もし適うなら私は進んでそうする」という「意志」が含まれています。
いずれにせよ would はテンスが過去であることから現在に関心がある場合には、直接的な表現というよりも、
むしろ一歩引いた表現になるため、丁寧さや「ためらい」が感じられます。

should の本質的意味は「何かが達成されてしかるべき、だがいまだ達成されていない」ということで、
「いまだに達成されていない」ということを前提に、その達成を求める、望むというものです。
そこで、「事実として何かが達成されてしかるべき」と思えば、
「提案・助言」（〜したほうがいい，してもらいたい）、
「義務」（〜すべき）、
「当然」（当然〜になるはずだ）などの意味合いがでてきます。

should は「すべき」と訳されることから何か強制力の強い助動詞のように思っている人がいますが、
身近な問題について比較的穏やかな「助言」を行う用法もあるということに注目してください。
You should see a doctor.（お医者さんに診てもらうほうがいいですよ）は「助言」の例です。
また、外国から来た人に、You should visit Takayama. といえば、「高山はお勧めですよ」といった感じで、
「すべき」のような強い意味合いはありません。むしろ、「ぜひ高山に行ってみたらいいですよ」といったところです。
もちろん、「義務」の意味合いで should を使うこともあります。
You should be kind to old people. といえば「お年寄りには親切にしなさい（親切にすべきだ）」という意味合いです。
これは「道徳や道義」に照らして「当然」ということで、「義務」の意味合いが出ているのです。

「もうすぐ彼女はここに来るはずだ」という場合も should を使って、
She should be here soon. のように表現することができます。
この「〜のはずだ」は「当然そうだ」ということだと解釈すればこの should も理解できると思います。
should は、単独では、過去のことに言及して使われることはありません。
ところが、should ＋完了形[have done] の形になると、
「〜すべきであったのに（過去を向いて後悔の念を表して）」という意味合いで過去に言及することができます。
I should have thought of this earlier. といえば「もっと早く考えつけばよかった」という意味合いです。
「〜するのが当然だったのにしていない」というのがこの表現で、
should の「当然〜してしかるべきだが、いまだなされていない」というコアがうまく生かされていますね。

would have done〔過去志向〕(実現はしなかったが仮に〜があれば)〜しただろうに
　I would have accepted your offer. 君の申し出を受け入れただろうに(実際は果たせなかったが)

could have done〔過去志向〕(可能性としては弱いが)〜したかもしれない；
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (実現はしなかったが可能性としては)〜していたかもしれない）
　 She could have got lost. （彼女は遅い）もしかしたら道に迷ったのかもしれない。
　 You could have been hit by the car. その車に轢かれていたかもしれないぞ。

might have done〔過去志向〕(可能性は低いが)〜していたかもしれない；
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(実現はしなかったが、低い可能性としては)〜したかもしれない；
　　　　　　　　　　　　　〔未来志向〕ひっとすると〜しているかもしれない
　She is late. She might have got lost. (彼女は遅いな。ひっとして迷ったのかもしれない[今も迷っている])

should have done 〔過去志向〕(実際にしなかったことを悔いて)〜すべきであったのに；
　　　　　　　　　　　　　　〔未来志向〕（…までには）きっと〜のはずだ
I should have[should've] seen a doctor. 僕はちゃんとお医者さんにかかればよかった（のにかからなかった）
She should have finished the job by six. 彼女は6時までには仕事を終えているはずだ

appear と seem の違い：話し手の心的態度を表す表現として、
it seems / appears [to me] that … を加えることができます。
それぞれの特徴を整理しておくと、以下のようになります。
appear ： 外見から見てそのようだ；外見上は「〜のように見える」が「実際は違う」という含みがある。
seem ： 主観的な総合判断に基づいて「（実際に）…のようだ」
appear だと表面上はそう見えるかもしれないが、実際は違うという意味合いが含まれることがあります。
一方、seem だと、「話し手が実際にそう思う」という意味合いが含まれます。

would は過去だけを向いた助動詞ではありませんが、過去に注目した際には「〜したものだ」という「習慣」を表します。
「習慣」といえば used to がおなじみですが、would との違いは何でしょうか。
used to は「意志とは関係なく、(現在と対比して)〜したものだ」という内容を表現し、
「現在との比較においてあることがどうだった」「現在はそうではないが、かつては〜だった」という状況で使われます。

There used to be a movie theater around here. （この辺りには映画館があったのよ）

used to には「意志」は関係しないで客観的に描写するという特徴があります。
「習慣的に〜したものだ」だとか「ある状況が存在したものだ」という意味合いが used to の特徴となります。

一方、過去を回想し、懐かしんで「（よく）〜（しようと）したものだ」と表現するには would が使われます。
When I was young, I would listen to the radio. だと「若い頃、よくラジオを聴いたものだ」ということで、
意志が働くwould があるため、「よく〜したもんだ」という意味合いが出てきます。
used to だと主語の意志は関係がないため、
かつてはそういう事実があったということを客観的に描写するのと対照的です。
That's not what it used to be. だと「かつてはそんな感じではなかった」といった内容ですが、
これを would で表現することはできません。
I used to be a very unfortunate child. （とても不幸な子どもだったんだ）だとか
I used to weigh about 300 pounds.（300ポンドも体重があったんだよ）などの be や weigh は
意志や思惑は関係がない状態動詞なので would を使うことはできません。

過去においてよく行われた行為を表すのに would と used のいずれも可能ですが、やはり意味合いの違いがあります。
would だと「何か意図や思惑や訳(わけ)などがあって〜したものだ」といった感情や主観を交えてた意味合いが、
used to だと「習慣的に〜したものだ、ある状況が存在したものだ」という客観的な響きがある。
My parents would make me eat tons of vegetables! だと
「訳があって私にたくさんの野菜を食べさせるようにした」という意味合いを読み取ることができます。
When we had steak, I would always get the smallest piece. でも、
ステーキを食べるときにはいつだって僕はどういうわけかきまって一番小さいやつをたべることになったんだ、
という意味合いになります。
自分から進んで小さいほうを食べるという意志ではありませんが、
「わけがあって小さいほうをたべるようになった」ということで消極的であれ意志が働いています。