MODとは、Modificationの略で、意味は部分的な機能の追加。
MODを導入する前に、.minecraftフォルダのバックアップをしておきましょう。
できれば.minecraftというフォルダごとバックアップしておいたほうが無難ですが、中身のファイルなどバックアップするべき物がわかるならそれらだけをバックアップしておいても構わないと思います。 .minecraftのバックアップはその時のバージョンに戻せることも意味します。
.minecraftフォルダの見つけ方、Windowsのスタートボタンを押して出るプログラムとファイルの検索欄に「%appdata%」と記入しエンターを押すとRoamingというフォルダが表示され、それを開くと.minecraftフォルダが見つかります。
※MODの導入は自己の責任でお願い致します。

MODを導入する場合MOD loaderやForgeという物が必要なMODもあります。
またMOD loaderなどをインストールする際に、7zipなど、圧縮ファイルの中身を「解凍せずに」開けるツールが必要です。

MOD loaderのインストール方法はバックアップ先で記載した.minecraftフォルダの中にbinというフォルダがあります。その中に拡張子を表示してあるならminecraft.jarという名前のファイルがあるので、それを右クリックしたメニューの中から7zip→開く、を選択してminecraft.jarの中身を表示します(解凍してはいけません)。
中身が表示されたらMOD loaderやForge(これは解凍が必要)の中のファイルをコピーして、minecraft.jarの中身が表示されたウィンドウにペーストして、minecraft.jarの中身にもしMETA-INFという名前のフォルダがあれば削除します。MOD loaderの場合はMETA-INFが存在しているとマインクラフト自体が起動しなくなるのでご注意。Forgeには専用のMETA-INFフォルダが同梱されているので削除する必要はありません。
あとは.minecraftフォルダ内にあるmodsフォルダにMODをzip形式のまま入れる。

zipファイルのまま入れるだけで動作するMODも多くあります。
MOD loaderやForgeはMODの導入をMOD loaderの様にわざわざ解凍して入れこまなくても良いようにしてくれるMODです、ちょっとややこしいですがそんなイメージ。
MODの中には「MOD loaderやForge必須」と書いてあっても、一部を解凍してminecraft.jarの中に、一部をzipファイルのままmodsフォルダに入れる、などというものも存在するので、MODの説明をよく読んでから導入して下さい。
MOD loaderを導入した場合、展開してMinecraft.jarにアーカイブしなければ動かないようなMODでもmodsフォルダにzipファイルのまま入れることによって動作できるものもあります。

Forgeは競合性が高いようなので一番最初に入れると安定するかも。

• Rei's miniMap

画面の隅に常時地図を表示するMOD。けっこう多機能で重宝します。死んだ場所に自動でウェイポイントを設定してくれたり(要設定変更)。MOBの現在位置を表示、スライムチャンクの表示(これらも設定の変更を要します)、など。多機能ですがマルチプレイでは使用できない機能制限もされています。MOB表示や地下レイヤー表示などはマルチプレイでは使用できません。

• Spawn Checker}

MOBの湧く可能性のあるブロックを色別で表示するMOD。カーソルキーの↑と↓で表示の仕方を変更する。湧き潰しに便利です。

• Inventory Tweaks}

インベントリーやチェストの中身を整理整頓するMOD。インベントリーやチェストを開いた状態でマウスホイールを押すと自動で整理してくれます。マルチプレイのチェストにも反映します。

• MAtmos

リアルな環境音を再現します。

• WorldEdit CUI

ワールドエディット(木のお皿)で選択した範囲を視覚化してくれます。ワールドガードの保護範囲指定。

• TooManyItems

主にシングルで利用できる便利MOD。アイテム取り出し、時刻変更、サバイバルorクリエイティブ切り替え、などが手軽に利用できます。

• CraftGuide

Gキーを押すとアイテムのレシピを表示してくれます。

• MinecraftIM

マインクラフトマルチプレイで日本語の入力を可能にするMODです。ダウンロードしたMinecraftIM.zipのファイルは解凍して7zipやWinRARなどでminecraft.jarを開いて上書きする方法で導入します。Rei's MiniMAPの作者さんが制作してます。

• OptiFine

本来のマインクラフトグラフィック設定よりもより細かい設定が可能になる。よく言われる「軽量化MOD」。環境によっては動作しない場合も。

• 棒読みちゃんMOD

マインクラフトゲーム内でのチャット発言を棒読みちゃんに音声読み上げさせることができます。当然ですが棒読みちゃん本体をダウンロードする必要があります。

• MCPatcher

MODとはちょっと違いますが、32x32ドット以上のテクスチャーに変えた場合に表示が変になるのを解消してくれる外部ツールです。