箇条書きでいきます。

1. Modのファイルをダウンロード
2. ほとんどの場合圧縮されているので、適当な場所に解凍する
3. Readme（もしくはそれに準じたテキスト）をよく読む
4. Readmeの指示に従って、ファイルを所定の場所に置く
5. Morrowindを起動し、最初のメニューで「Data Files」をクリック
6. 今入れたModのファイル名のボックスにチェックを入れる

4.が肝なので補足します。Modのファイルを置く場所は、Morrowindをインストールしたディレクトリの「Data Files」フォルダ内となります。Construction Setと同じアイコンである、拡張子がespのファイルは、直接Data Filesフォルダに入れます。その他のフォルダの中身は、Data Files内の同名のフォルダに追加します。
Modによっては、直接Data Filesフォルダに向かって解凍するだけでいいものもあります。Readmeを参照してみてください。

（2008.5.6追記）
上記の方法が一番基本なのですが、個人が作った各種ツールを使用する方法もあります。多少知識が必要で敷居が高いかもしれませんが、トラブルを未然に防ぐことになるはずです。詳しくは下記のリンク先へどうぞ。

・Azura様がみてる wikiの「Modの扱い方」