リーマン予想とはなにか―全ての素数を表す式は可能か (ブルーバックス)
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uedam1984b 2015年12月29日(火) 22:53:40履歴
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リーマン予想とはなにか―全ての素数を表す式は可能か (ブルーバックス)
目次
はじめに 3
第1章 リーマン予想とは何だろう 10
1.1 素数の分布 11
素数とは
100以下の素数
素数はどこまでも増え続ける
双子素数予想
グリーン-タオの定理
素数の間隔はいくらでも大きくなる
素数の個数を表す関数π(x)
π(x)がわかることと全ての素数がわかることは同じ
π(x)の振舞い―100まで
π(x)の振舞い―1000まで
素数定理
リーマンの研究の目的
1.2 リーマンのゼータ関数 26
バーゼル問題とゼータ関数の出現
オイラー積表示
π(x)とゼータ関数
複素数の登場
リーマンと複素関数
リーマンのゼータ関数に関する研究
関数等式とリーマン予想
ゼータ関数のさらなる追求
リーマンのプログラムの完成
第2章 オイラー積とは 44
2.1 ゼータ関数 44
無限和の表し方
ディリクレの関数
n^sとは何だろう
指数関数
自然対数
積の対数は、対数の和
自然対数の底
結局、n^sとは
2.2 オイラー積 60
不思議な因数分解
約数となる素数が2だけの数の逆数を全部足す
約数となる素数が2か3だけの数の逆数を全部足す
オイラー積登場！
オイラー積の正しい説明
第3章 リーマンのゼータ関数とは 69
3.1 複素関数とは 70
複素数の四則演算
代数学の基本定理
複素平面
3.2 リーマンのゼータ関数 74
ゼータ関数の成分� Щ愎�関数exp(z)
ゼータ関数の成分�◆Е�(s)
ゼータ関数の成分��：複素関数の積分
複素数の極形式と対数
複素関数の積分とは
コーシーの定理
複素微分とは
ゼータ関数は正則か
コーシー・リーマンの方程式
ゼータ関数は一つだ！
第4章 リーマン予想とは 98
4.1 リーマンのゼータ関数の極 100
ゼータ関数の特異点
(e^(2πis)-1)=0となる時
正則関数のテイラー展開
零点での関数の形
Γ(s)=0となる時
複素関数のローラン展開
極での関数の形
留数と留数定理
ここまでのまとめ
ゼータ関数の極はs=1だけ
4.2 ゼータ関数の零点 112
ゼータ関数の関数等式
ゼータ関数の零点
リーマン予想の誕生
臨界線とζ(s)の対称性
第4章のまとめ
第5章 リーマンの素数公式とは 126
5.1 ゼータ関数の積表示 128
グザイ関数ξ(s)を作る
ξ(s)の極
ξ(s)の零点
(5.2)式のからくり
多項式の積表示
オイラーの研究
ゼータ関数の非自明な零点の分布
5.2 素数公式 138
J(x)をξ(s)から計算する
対数積分Li(x)
後ろの2項は定数とみなせる
π(x)をJ(x)から計算する
π(x)の計算
リーマンの素数公式
その後
第6章 それから 156
素数定理のその後
零点の計算
鏡像の原理
近似計算
臨界線上の零点の存在
ジーゲルの発見
非自明な零点探索の加速
ゼータ関数の研究のその後
付録１ オイラー積とＪ（ｘ） 172
付録２ Ｊ（ｘ）の方程式を解く 188
付録３ ゼータの特殊値 206
付録４ 数式のまとめ 216
参考になる本 219
さくいん 220
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リーマン予想とはなにか―全ての素数を表す式は可能か (ブルーバックス) 
目次
はじめに 3
第1章 リーマン予想とは何だろう 10
1.1 素数の分布 11
素数とは
100以下の素数
素数はどこまでも増え続ける
双子素数予想
グリーン-タオの定理
素数の間隔はいくらでも大きくなる
素数の個数を表す関数π(x)
π(x)がわかることと全ての素数がわかることは同じ
π(x)の振舞い―100まで
π(x)の振舞い―1000まで
素数定理
リーマンの研究の目的
1.2 リーマンのゼータ関数 26
バーゼル問題とゼータ関数の出現
オイラー積表示
π(x)とゼータ関数
複素数の登場
リーマンと複素関数
リーマンのゼータ関数に関する研究
関数等式とリーマン予想
ゼータ関数のさらなる追求
リーマンのプログラムの完成
第2章 オイラー積とは 44
2.1 ゼータ関数 44
無限和の表し方
ディリクレの関数
n^sとは何だろう
指数関数
自然対数
積の対数は、対数の和
自然対数の底
結局、n^sとは
2.2 オイラー積 60
不思議な因数分解
約数となる素数が2だけの数の逆数を全部足す
約数となる素数が2か3だけの数の逆数を全部足す
オイラー積登場！
オイラー積の正しい説明
第3章 リーマンのゼータ関数とは 69
3.1 複素関数とは 70
複素数の四則演算
代数学の基本定理
複素平面
3.2 リーマンのゼータ関数 74
ゼータ関数の成分� Щ愎�関数exp(z)
ゼータ関数の成分�◆Е�(s)
ゼータ関数の成分��：複素関数の積分
複素数の極形式と対数
複素関数の積分とは
コーシーの定理
複素微分とは
ゼータ関数は正則か
コーシー・リーマンの方程式
ゼータ関数は一つだ！
第4章 リーマン予想とは 98
4.1 リーマンのゼータ関数の極 100
ゼータ関数の特異点
(e^(2πis)-1)=0となる時
正則関数のテイラー展開
零点での関数の形
Γ(s)=0となる時
複素関数のローラン展開
極での関数の形
留数と留数定理
ここまでのまとめ
ゼータ関数の極はs=1だけ
4.2 ゼータ関数の零点 112
ゼータ関数の関数等式
ゼータ関数の零点
リーマン予想の誕生
臨界線とζ(s)の対称性
第4章のまとめ
第5章 リーマンの素数公式とは 126
5.1 ゼータ関数の積表示 128
グザイ関数ξ(s)を作る
ξ(s)の極
ξ(s)の零点
(5.2)式のからくり
多項式の積表示
オイラーの研究
ゼータ関数の非自明な零点の分布
5.2 素数公式 138
J(x)をξ(s)から計算する
対数積分Li(x)
後ろの2項は定数とみなせる
π(x)をJ(x)から計算する
π(x)の計算
リーマンの素数公式
その後
第6章 それから 156
素数定理のその後
零点の計算
鏡像の原理
近似計算
臨界線上の零点の存在
ジーゲルの発見
非自明な零点探索の加速
ゼータ関数の研究のその後
付録１ オイラー積とＪ（ｘ） 172
付録２ Ｊ（ｘ）の方程式を解く 188
付録３ ゼータの特殊値 206
付録４ 数式のまとめ 216
参考になる本 219
さくいん 220
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