復習

　物理を思い出しましょう。よく運動方程式といわれて



という式を見たりしませんでしたか？左辺は物体の加速度に関する式で，右辺は物体に与える力を意味しています。物体の速さの変化は押した力に比例するという意味を持ちます。

　今，一方が固定されたばねの先に質量mの重りがついている場面を考えます。ばねの動きはフックの法則というのがあり，ばねの位置に比例して強く引かれます。これは現実にバネを引っ張れば引っ張るほど強く引っ張られるという経験から分かるでしょう。向きも重要です。引っ張るのとは反対方向に引っ張られることも重要です。つまりバネは比例定数をkとすると，



という力になります。これが物体に与える力ですから，



となり，もとの運動方程式に代入すると，次のようになります。



　さてさて，摩擦という現象をご存知でしょうか。物体と空気，物体と床とのあいだに，“その運動を妨げるように働く力”のことです。一般的にはこれは速さ v に比例することが知られています（飛行機などは1.5乗〜2乗に比例）。この力を数式で表してみます。さきほどと同じように“妨げる方向に”働くので符号はマイナス，係数をbとして



と表します。そして先ほどのFにこの力を付け加えると



のようになり，さらに人間がそのバネの物体を手で押したり揺らしたりすることを考えるとその力を小文字のfで表すと物体に与える力は全部で，



となるので全体の運動方程式は，



となります。ここで



ということに注意すれば式を下のように変形できます。



最終的にこれを整理して，



となります。これがこの運動方程式となります。

ラグランジュの運動方程式

　こんどはこれをラグランジュの運動方程式で解くことを考えます。ラグランジュの運動方程式は下の式で与えられるものをいいます。



ここでＬとは，運動エネルギーＴと位置エネルギーＵを使って表すと，



のようになります。これは全エネルギー U + T と違うものとなります。（余談ですが T + U = H とおいてハミルトニアンといいます）

　今のようなバネの例だと，運動エネルギーはバネの運動ですから



となります。バネの位置エネルギーは



となります。位置エネルギーとはxだけバネを引き伸ばすのに必要なエネルギーのことをいいます。

これをもとにラグランジュアンを求めると，



となることが分かります。

　もう一度ラグランジュ方程式を見てください。右辺のｆとｆ’があることが分かります。これはｆは物体に与える力を意味します。またｆ’物体の動きを妨げようとする力を意味します。先ほどの復習でいいましたが，このような力を摩擦力といって，-bvで与えられるんでしたよね。つまり ｆ’＝ −ｂｖです。

　ラグランジュ方程式の計算を分かりやすくするために，方程式を改造しておきましょう。



という関係から，一部分を置き換えると



というラグランジュ方程式を得ることが出来ました。あとは計算です。

まず必要な部分を微分すると，


(注意；微分間違ってます！)

となり，さらに微分をすると，



となります。あとはこれらの式をあてはめて，-bvを移項して，aやvをxの微分の形（先ほどの復習を参照）になおしてやると，復習と同じ微分方程式を得ることが出来ます。

伝達関数

　先ほどの運動方程式をラプラス変換することを考えましょう。微分のラプラス変換は下のようになります。



　この式を用いて，初期値 x(0)やx'(0)をゼロとしてラプラス変換すると，運動方程式は，



となり，Xでくくりだして整理すると，下のようになります。



Ｆは物体を動かすために人間が与える力ですから（復習を参照），これを入力と考ええ，出力を物体の位置と考えると出力/入力＝X/Fを伝達関数Ｇと呼びます。これを求めると，下のようになります。