確率の捉え方
最終更新：
phoernian2424 2026年09月03日(木) 17:10:34履歴
久しぶりにR言語を触ろうと思い、リハビリがてら記事を書きます
確率・運と向き合う
ハチイチ発火
10先の勝率
実力を決める大会は何先が最も有効か？
進研ゼミ(誕生日問題)
確率・運と向き合う 
初代ぷよはそのゲームの性質上、運要素を多分に含む。ぷよぷよでの上達は、勝ちパターンを確実なものにするのがゴールである。しかし、運要素を確実に排除することはできない。
運とは対戦の中に存在する普遍的要素であり、多くのゲームやスポーツでは運と付き合っていく必要がある。当然、確率に何度も振り回されることを覚悟しなければいけないのだが、必要以上に運に狂わされる必要はない。
運とは対戦の中に存在する普遍的要素であり、多くのゲームやスポーツでは運と付き合っていく必要がある。当然、確率に何度も振り回されることを覚悟しなければいけないのだが、必要以上に運に狂わされる必要はない。
ハチイチ発火
代表例として、ハチイチ発火。
ハチイチとは、全部で16パターン(上下差あり)ある配ぷよのバリエーションのうち、特定のツモが来る確率が1/8であることが由来となっている。
しかし、デスタワー勢がハチイチ発火を活かす時、1/8より頻度が高いように感じる。しかしこれを理不尽に感じてはならない。
確率とは、分母である「全パターンの総数」と、分子となる「特定のパターンの合計」から成り立つ。ハチイチの例では、先ほども書いたように、16パターン中2パターンあるため、1/8となる。
しかし、デスタワーでの発火に限れば分母も分子も異なることがある。
ハチイチ発火の例。赤緑での発火で19個同時消しとなり、完全致死となる。
シンプルに考えれば、16パターンのうち赤緑を引く確率なので、1/8と考えるのが正しそうに見える。
だが、ここでは見落としが2点ある。まず1つ目は、対戦相手の存在である。
もし対戦相手も似たようなタワー対決で、スピードを犠牲に丁寧に連結を足したことでハチイチに頼らずとも完全致死で発火できるとしよう。
こちらは速度では先行しているものの、まだ不完全致死なため、完全致死に育てようとすると逆転される状況と仮定。
別にタワー対決でなければいけないわけではないが、同じ発火色を引きあう勝負の場合、分母は16にならない。
発火に必要な緑以外で試合を動かすことはできないため、ここでの分母は16ではなく、緑を含むツモの総数である9パターンとなる。
赤緑のハチイチを分子とするならば、2/9となる。1/8は12.5%だが、2/9は22.2%であり、2倍近い差がある。
しかしこの分子も罠である。このデスタワーは、赤緑だけではなく、黄緑でも撃つことができる。
そのため、正しいハチイチ発火の確率は4/9＝44.4%となり、半分近い確率となる。
もしハチイチ発火を文字通り12.5%と捉えていたら。現実は44%近いのだから、計算と現実のギャップに苦しむことになる。
もっと深く知りたい場合はこちら: https://takpuyo.hatenablog.com/entry/2020/02/17/00...
ハチイチとは、全部で16パターン(上下差あり)ある配ぷよのバリエーションのうち、特定のツモが来る確率が1/8であることが由来となっている。
しかし、デスタワー勢がハチイチ発火を活かす時、1/8より頻度が高いように感じる。しかしこれを理不尽に感じてはならない。
確率とは、分母である「全パターンの総数」と、分子となる「特定のパターンの合計」から成り立つ。ハチイチの例では、先ほども書いたように、16パターン中2パターンあるため、1/8となる。
しかし、デスタワーでの発火に限れば分母も分子も異なることがある。
ハチイチ発火の例。赤緑での発火で19個同時消しとなり、完全致死となる。
シンプルに考えれば、16パターンのうち赤緑を引く確率なので、1/8と考えるのが正しそうに見える。
だが、ここでは見落としが2点ある。まず1つ目は、対戦相手の存在である。
もし対戦相手も似たようなタワー対決で、スピードを犠牲に丁寧に連結を足したことでハチイチに頼らずとも完全致死で発火できるとしよう。
こちらは速度では先行しているものの、まだ不完全致死なため、完全致死に育てようとすると逆転される状況と仮定。
別にタワー対決でなければいけないわけではないが、同じ発火色を引きあう勝負の場合、分母は16にならない。
発火に必要な緑以外で試合を動かすことはできないため、ここでの分母は16ではなく、緑を含むツモの総数である9パターンとなる。
赤緑のハチイチを分子とするならば、2/9となる。1/8は12.5%だが、2/9は22.2%であり、2倍近い差がある。
しかしこの分子も罠である。このデスタワーは、赤緑だけではなく、黄緑でも撃つことができる。
そのため、正しいハチイチ発火の確率は4/9＝44.4%となり、半分近い確率となる。
もしハチイチ発火を文字通り12.5%と捉えていたら。現実は44%近いのだから、計算と現実のギャップに苦しむことになる。
もっと深く知りたい場合はこちら: https://takpuyo.hatenablog.com/entry/2020/02/17/00...
10先の勝率
現時点でのBぷよレートランキングを見てみると原点(1500)以上のプレイヤーの勝率は45%〜60%以内で分布している。
例えば勝率60%のプレイヤーが1先した場合は勝率は6割のままだが、10先合計となると勝率は変化してくる。
勝率6割のプレイヤーが10先で勝利する確率はおおむね8割まで上昇する。逆に言えば、Bぷよでトップクラスのプレイヤーの勝率である6割でも、10回に2回は負けるということでもある。
ただし、この計算は少々乱暴である。この勝率はあらゆるプレイヤーを相手にした累計本数を基に計算した勝率であり、どの強さの対戦相手と何回勝負したかはわからない。よって、その10回のうち2回やってくるチャンスが全てのプレイヤーに平等にやってくるわけでもない。
そういうわけで、特定のマッチ相手のみに絞って考えてみる。
例として自分(レート戦勝率54.8%)とレート2000オーバーの人の結果だけをベースにした勝率を出してみると、64.3%になった。
pbinom(9, size = 19, prob = 0.643, lower.tail = FALSE)
0.8443916となった。
負けた場合の本数差はこんな感じで、負けても8本以上取れている場合が半分を占める。10タテされるケースは確率を丸められていて0%になっているようだ。(10タテされる確率は単純に(1-0.643)^10でおおよそ30,000回に1回の確率らしい)
例えば勝率60%のプレイヤーが1先した場合は勝率は6割のままだが、10先合計となると勝率は変化してくる。
勝率6割のプレイヤーが10先で勝利する確率はおおむね8割まで上昇する。逆に言えば、Bぷよでトップクラスのプレイヤーの勝率である6割でも、10回に2回は負けるということでもある。
ただし、この計算は少々乱暴である。この勝率はあらゆるプレイヤーを相手にした累計本数を基に計算した勝率であり、どの強さの対戦相手と何回勝負したかはわからない。よって、その10回のうち2回やってくるチャンスが全てのプレイヤーに平等にやってくるわけでもない。
そういうわけで、特定のマッチ相手のみに絞って考えてみる。
例として自分(レート戦勝率54.8%)とレート2000オーバーの人の結果だけをベースにした勝率を出してみると、64.3%になった。
pbinom(9, size = 19, prob = 0.643, lower.tail = FALSE)
0.8443916となった。
負けた場合の本数差はこんな感じで、負けても8本以上取れている場合が半分を占める。10タテされるケースは確率を丸められていて0%になっているようだ。(10タテされる確率は単純に(1-0.643)^10でおおよそ30,000回に1回の確率らしい)
実力を決める大会は何先が最も有効か？
初代ぷよの世界では頂点を決めるような大会では50先にするか100先するかで長い間議論されてきた。
確率だけの話で言えば先取数が増えるほど大数の法則により、実力がブレずに結果に出やすくなるという理由で100先を支持する人がいる。
一方で、100先になると大会運営上の都合が気になる。プレイヤーにも実況にも観戦者にも長時間の負担を強いるし、スタミナというファクターが出てくる。全力の構築や読み合いを要求するならば、50先に固定してコンディションが落ちる前に試合を決してしまおうという意見もある。一般的にデスタワー勢はスタミナタイプで、連鎖勢は短期決戦型と言われる。特に、凝視等相手とのやり取りを重視するプレイヤーは本数が少ない方が実力を発揮しやすいだろう。
だからといって、本数を少なくし過ぎると運のファクターが大きくなりすぎる。どの程度運要素を許容すべきかを決めるのは結局のところ人間であるため、誰もこの答えを出せずにいた。
大会では同格のプレイヤー同士が戦うことが多いため、基本勝率を51%と考えてみよう。もし1先だけだったら勝率はほぼ50/50なわけだが、果たして本数を増やすことで最終勝率はどの程度変わるのか。
結果として、50本先取だと最終勝率が約58%、100先だと約61%となった。
最終勝率自体は増大しているが、人によってはこの上昇幅では心もとなく感じる人もいるだろう。
個人的には30先以上は大差ないように感じるため、この議論に関しては運要素を排除するというよりは、短期決戦型の試合にするか、持久力タイプの試合にするかで判断した方がいいように感じる。少なくとも運要素よりもそういう実力の影響の方が大きく出るように思える。
ちなみに、別案としてBO3やBO5の選択肢もある。
BOはBest ofの略であり、最大nセットを行う試合形式である。
例えば20先のBO5であれば先に20本先取を3回取った方が勝ちという形式になる。
ただ、確率だけの面で見ると、先ほど1戦の勝率が51%であった場合に100先の最終勝率は61%であったが、BO5だと1セットの勝率が55%、最終勝率が59.3%と、比較すると運要素が改善されてないように見える。
これは3-0でストレート勝ちした場合、合計100先もせずに勝敗が決まる可能性があるのに対し、100先1回であれば少なくとも100本は行われるからである。下限値の違いにより、大数の法則が影響しているのである。
一方で大会運営の方面で考えてみると、拘束時間はそこそこあるものの、ワンマッチごとに仕切り直しになるため、本数を稼ぎつつもスタミナに縛られない戦い方ができると言える。
確率だけの話で言えば先取数が増えるほど大数の法則により、実力がブレずに結果に出やすくなるという理由で100先を支持する人がいる。
一方で、100先になると大会運営上の都合が気になる。プレイヤーにも実況にも観戦者にも長時間の負担を強いるし、スタミナというファクターが出てくる。全力の構築や読み合いを要求するならば、50先に固定してコンディションが落ちる前に試合を決してしまおうという意見もある。一般的にデスタワー勢はスタミナタイプで、連鎖勢は短期決戦型と言われる。特に、凝視等相手とのやり取りを重視するプレイヤーは本数が少ない方が実力を発揮しやすいだろう。
だからといって、本数を少なくし過ぎると運のファクターが大きくなりすぎる。どの程度運要素を許容すべきかを決めるのは結局のところ人間であるため、誰もこの答えを出せずにいた。
大会では同格のプレイヤー同士が戦うことが多いため、基本勝率を51%と考えてみよう。もし1先だけだったら勝率はほぼ50/50なわけだが、果たして本数を増やすことで最終勝率はどの程度変わるのか。
結果として、50本先取だと最終勝率が約58%、100先だと約61%となった。
最終勝率自体は増大しているが、人によってはこの上昇幅では心もとなく感じる人もいるだろう。
個人的には30先以上は大差ないように感じるため、この議論に関しては運要素を排除するというよりは、短期決戦型の試合にするか、持久力タイプの試合にするかで判断した方がいいように感じる。少なくとも運要素よりもそういう実力の影響の方が大きく出るように思える。
ちなみに、別案としてBO3やBO5の選択肢もある。
BOはBest ofの略であり、最大nセットを行う試合形式である。
例えば20先のBO5であれば先に20本先取を3回取った方が勝ちという形式になる。
ただ、確率だけの面で見ると、先ほど1戦の勝率が51%であった場合に100先の最終勝率は61%であったが、BO5だと1セットの勝率が55%、最終勝率が59.3%と、比較すると運要素が改善されてないように見える。
これは3-0でストレート勝ちした場合、合計100先もせずに勝敗が決まる可能性があるのに対し、100先1回であれば少なくとも100本は行われるからである。下限値の違いにより、大数の法則が影響しているのである。
一方で大会運営の方面で考えてみると、拘束時間はそこそこあるものの、ワンマッチごとに仕切り直しになるため、本数を稼ぎつつもスタミナに縛られない戦い方ができると言える。
進研ゼミ(誕生日問題)
昔のBぷよではサーバーの同期の不具合なのか、同じ配ぷよが2試合連続で登場することが稀にあった。これを進研ゼミ
現在その仕様は修正され、純粋な確率でのみ進研ゼミが来る。
初代ぷよの配ぷよの総パターン数は65,536通りと言われているので、同じ配ぷよが来る可能性はほぼ0といって差し支えなさそうだが、意外なことに時間差で進研ゼミが来る確率は結構高い。これは誕生日問題で取り扱う確率モデルと同様の手法で計算することができる。
参考: ５０人いたら９７％の確率で同じ誕生日の人がいる？？？
これは9戦及び36戦のうちに時間差進研ゼミに遭遇する確率と期待値である。
90戦は50先の体感平均試合本数、360戦は50先×4回、おおむねS級本戦の合計本数としてある。
こう見ると、どのプレイヤーも本戦リーグ中に1回は時間差進研ゼミに遭遇しそうな見える。
しかし、進研ゼミは配ぷよが同じでも配色が別になるパターンが存在し、もしかしたらプレイヤー視点では65546/4 = 16384通りなのかもしれない。
その場合時間差進研ゼミに遭遇する確率はほぼ100%にまで上昇し、期待値的にはリーグ中に4回ほど遭遇することになる。個人的な経験と比較してもこれがしっくりくるように感じる。
ちなみに、実際に組んだことのある配ぷよが来たとしても、プレイヤーがそれを進研ゼミと認識できるかは限らない。人はそこまで記憶力が高いわけではないのももちろんだが、配ぷよごとに派生パターンが少ないプレイヤーは、もともとの似通った完成形が多いため、認識しにくいところがある。特にタワー勢。一方で、派生パターンが多いプレイヤーは進研ゼミを認識しやすい。
例えば、正位置デスタワー勢はABAC、ABBC、ABCCではこの形となる。
一方で、両刀タワー勢の場合はABBCとABCCは逆向きタワーになるため、2パターンある。
また、同じ正位置タワー勢でも、AABBをこう置く場合は全て左側が発火点になるが、
AABBをこう置く場合は肆式両刀天秤に移るため、発火点が右と左の2パターンに増える。
このように左右対称になるだけでも、視覚的にはまったく別の完成形に見えるため、プレイヤーの視点からでは進研ゼミを認識しやすくなる。
現在その仕様は修正され、純粋な確率でのみ進研ゼミが来る。
初代ぷよの配ぷよの総パターン数は65,536通りと言われているので、同じ配ぷよが来る可能性はほぼ0といって差し支えなさそうだが、意外なことに時間差で進研ゼミが来る確率は結構高い。これは誕生日問題で取り扱う確率モデルと同様の手法で計算することができる。
参考: ５０人いたら９７％の確率で同じ誕生日の人がいる？？？
これは9戦及び36戦のうちに時間差進研ゼミに遭遇する確率と期待値である。
90戦は50先の体感平均試合本数、360戦は50先×4回、おおむねS級本戦の合計本数としてある。
こう見ると、どのプレイヤーも本戦リーグ中に1回は時間差進研ゼミに遭遇しそうな見える。
しかし、進研ゼミは配ぷよが同じでも配色が別になるパターンが存在し、もしかしたらプレイヤー視点では65546/4 = 16384通りなのかもしれない。
その場合時間差進研ゼミに遭遇する確率はほぼ100%にまで上昇し、期待値的にはリーグ中に4回ほど遭遇することになる。個人的な経験と比較してもこれがしっくりくるように感じる。
ちなみに、実際に組んだことのある配ぷよが来たとしても、プレイヤーがそれを進研ゼミと認識できるかは限らない。人はそこまで記憶力が高いわけではないのももちろんだが、配ぷよごとに派生パターンが少ないプレイヤーは、もともとの似通った完成形が多いため、認識しにくいところがある。特にタワー勢。一方で、派生パターンが多いプレイヤーは進研ゼミを認識しやすい。
例えば、正位置デスタワー勢はABAC、ABBC、ABCCではこの形となる。
一方で、両刀タワー勢の場合はABBCとABCCは逆向きタワーになるため、2パターンある。
また、同じ正位置タワー勢でも、AABBをこう置く場合は全て左側が発火点になるが、
AABBをこう置く場合は肆式両刀天秤に移るため、発火点が右と左の2パターンに増える。
このように左右対称になるだけでも、視覚的にはまったく別の完成形に見えるため、プレイヤーの視点からでは進研ゼミを認識しやすくなる。
コメントをかく