当wikiは、高橋維新がこれまでに書いた/描いたものを格納する場です。

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問題集

その1



※ただしt≠0とする。

ヒント(反転)
ゴリ押しでも解けるでしょうが、とりあえずa>0,t>0と限定してから検討を始めた方が凡ミスは少なくなると思います。

答え(反転)
t=±(1/2a) のとき、でいいはず……

その2

 330以下の正整数で、自身の(正の)約数の総和が330に等しくなるものを全て求めよ。

答え(反転)
218のみ。でいいはず……

その3

 a^2+b^3=14400を満たす正整数a,bを全て求めよ。

 綺麗な解法を未だに思いついていないのでお待ちしています。

答え(反転)
(a,b)=(105,15)or(80,20)or(24,24)。これはエクセルで確かめたので合ってます

その4

 0を除く有理数のうち、自身とその逆数の和が整数になるものを全て求めよ。

答え(反転)
±1のみ、でいいはず……

その5

 xの二次方程式ax^2+bx+c=0について、a=1でかつbとcが共に整数であり、かつその方程式が無理数でない実数解を持つときは、その解が必ず整数解になることを示せ。

その6

(1)平方数でない任意の正整数kについて、√kが無理数であることを示せ。
(2)任意の有理数a及びb(ただしb≠0)について、a+b√kが無理数であることを示せ。

その7

(1)ハノイの塔に以下のようなルールを加えるとする。
追加ルールK:「1回の操作においては、円盤は隣接する杭にしか移動できない」

 この場合円盤n枚(nは正整数)のハノイの塔を解くには最短何手必要かを求めよ。

(2)上記の追加ルールKに加えて、スタート地点の杭とゴール地点の杭の間の杭の数(これを間杭数ということとする)を増やすことを考える。
 通常のハノイの塔は、間杭数が1の場合である。
 間杭数がm(mは正整数)の場合、追加ルールKのもとでは円盤n枚のハノイの塔を解くのに最短何手必要かを求めよ。

(3)追加ルールKを撤廃した場合は、円盤n枚かつ間杭数mのハノイの塔を解くのに最短何手必要になるかを求めよ。

(4)(2)と(3)は難しすぎる気がしたのでちょっと簡単にする。
 ヾ峭鎖mがn-1以上のとき、追加ルールKのない通常のハノイの塔を解くのに最短何手必要になるか。
 間杭数mがn-1以上で追加ルールKがある場合はどうか。 

答え(反転)
(1)求める値をA(n)とすると、A(n+1)=3A(n)+2(かつA(1)=2)という漸化式が立つので、これを解くと、A(n)=(3^n)-1(これはn=1の場合も成り立つ)ということでいいと思われる。(2)(3)解けてません(4)2n-1でいいと思います。

その8

 m人で野球拳をする(mは2以上の整数)。具体的には以下のようなルールである。

ア.m人でジャンケンをする。なお1回のジャンケンにおいてグー・チョキ・パーそれぞれを繰り出す確率は、全ての参加者において相等しいものとする。
イ.あいこの場合は誰も何も脱がない。
ウ.ジャンケンの勝敗がついた場合は、負けた者が着ている衣服を1枚脱ぐ(なお衣服の1枚性に関する解釈の疑義は生じないものとし、全ての参加者の開始時点における着衣の枚数は0以上の整数で一意に表せるものとする)。
エ.脱ぐものがなくなった者もジャンケンからは抜けずに野球拳を続けるものとする。
オ.脱ぐものがなくなった者が負けた場合は、何も脱がない。

 ジャンケンをn回繰り返した時の参加者の着衣状況を考える。n→∞とするとき、m人全員が全裸になることを示せ。

その9

(1)


(2)その8と同様のルール(ただしエとオは適用しない)の野球拳で、開始時の着衣枚数が同じAとBが対戦した場合、Aが最終的に勝利(自分の着衣枚数が1以上の状態で相手の着衣枚数を0にすることを指す)する確率とBが最終的に勝利する確率は等しいことを示せ。

その10

 数学の高橋先生は、現在微分と三次関数を教えている。数学のできない生徒たちのために期末試験にはできるだけ式もグラフも綺麗な形になる三次関数を出題してやろうと思い、以下のような条件を満たす三次関数y=f(x)を考えた。
〜慣舷瑤論或瑤任△襦
原点を通る。
8凝世亡悗靴禿逝仂里任△襦
f(x)=0が異なる3解を持ち、それが全て整数である。
ザ紡臙佑閥望値を1つずつ持ち、かつそれを与えるxの値がいずれも整数である。

(1)上記の条件をすべて満たす三次関数y=f(x)は存在しないことを示せ。
(2)条件を妥協した場合、残りの条件´↓きイ鯔たす三次関数y=f(x)は、3次の係数がいかなる整数(0を除く)の場合も無数に存在することを示せ。

答え(反転)
(2)たとえばf(x)=x^3+12x^2-540xや、f(x)=x^3+6x^2-2016xである。1つ見つかれば、そこから二次の係数をk倍、一次の係数をk^2倍したもの(kは2以上の整数)は、常に条件´↓きイ鯔たす。当然全体を整数倍すれば3次の係数がいかなる整数値の場合にも対応できる

その11

(1)面積Sの長方形がある(Sは正の実数)。Sの一つの辺の長さをt(tも正の実数)としたとき、Sの周の長さが最小になる時のtを求めよ。
(2)面積330の長方形がある。その周の長さの値は、整数であるという。そのような周の値で最小のものを求めよ。

答え(反転)
(1)t=√Sのとき。(2)73(20*16.5の長方形のとき)

その12

 楕円(円を除く)に内接する長方形の4辺は、全てその楕円の長軸または短軸に平行であることを示せ。



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