リアプノフの安定理論

　リアプノフの安定理論は本当はもっと難しいいんだけれども，簡単に説明をします。いちばん簡単な説明です。

　リアプノフ関数は，なんとかかんとか教科書に書いてあるけれど，全エネルギーだと思ってください。つまり，運動エネルギー＋位置エネルギーってこと。

　安定するということは，エネルギーが無くなって静止するってこと。エネルギーが無くなれば物は動けないからです。安定判別ってのは，時間がたつとエネルギーが少なくなっている，つまりエネルギーの時間変化（エネルギーを時間で微分）すると，負になれば安定しますということです。

　教科書には，バネのやつで計算しています。バネの運動エネルギーは (1/2)mv^2，バネの位置エネルギーは(1/2)kx^2となり全体のエネルギーＥはＥ＝ (1/2){mv^2+kx^2}ですね。これを時間微分して負になっているから，安定だといっているのです。

　ここでは例として，教科書 P113図5.2(b)のモデルで考えてみましょう。

例題 教P113 図5.2(b)

　回転運動機構の慣性モーメントがＪ，ねじりバネ剛性が ｋ_θとなっています。外力を０としたときの系の運動をかんがえよう。系の運動方程式は，入力トルクτ(t)＝０より，



となり，運動エネルギーＴは



位置エネルギーＵは



となります。そして全エネルギーＥは，Ｅ＝Ｔ＋Ｕだから，



となります。これを時間微分してみましょう。すると，



となります。

これに先ほどの運動方程式を変形して，



代入することで，



となり，ｂ_ωは正なので，エネルギーの時間変化は負であることが分かります。よって系（回転運動系）は安定となるのです。