ココネ なう。

(4)shall
shallのイメージは「進むべき定められた道」です。
ただshallは今ではほとんど使われないので、
覚えておくべきなのはShall we/I...の提案表現くらいです。

Shall I help you?(「〜しましょうか」という提案表現)
Shall we dance?(「〜しませんか」という提案表現)

(5)should
もともとはshallの過去形でしたが、
過去の用法はほとんどなく、単体で良くつかわれます。
もともとがshallの過去形のため「進むべき定められた道」と言うニュアンスがあります。
しかしshallをつかうと「運命」のように強く感じますが、
shouldにはそのような強さはなく「そうした方がいいよ(提案)」、「そうであるはずだ(確信)」の用法が生まれます。

You should watch your weight.(そうした方がいいと提案している)
That should be no problem.(そうであるはずだという確信を表している)

＊must-should
mustとshouldは似たような意味が生み出されています。
そのためmustでいうところをshouldにしても伝えたいことを言うことができます。
mustとshouldはそれぞれ別物なのですが、ともに「ある動作を行うことに進んでいく」ような感覚があるので、
結びついたと考えられます。
使い分けはmust(強い提案)>should(優しい提案)となり使用頻度はmust<shouldとなるようです。

(6)may
mayは「(何らかの力が働いて)道が開かれる」ような感覚があります。
何らかの力と言うのは「上司、公共の権限、神」など
文の主役(主語)よりも「上からの力」が感じられます。
「道が開かれる」ということで「そこに進むことができるようになる」という言い方もできます。
ただ進むことができるようになるということで「どうする(なる)かはわからない」と言う気持ちが感じられる表現となります。
「認可」、「祈願」、「推量」はここから生まれます。

You may smoke only in the designated area.(公的な許可)
You may not take photographs inside the museum.(公的な禁止[しないことを認可する])
May all your dreams come true!(祈願[神への認可願い])
We may go skiing in Hokkaido this winter.(推量[すすむ事ができる])