不等式スレで問題解決によく用いられる不等式たちです。

• 相加相乗調和平均
• 重み付き相加相乗調和平均
• 累乗平均（相加相乗調和平均の一般化）
• 重み付き累乗平均
• コーシー・シュワルツの不等式
• Hölderの不等式（コーシー・シュワルツの不等式の一般化）
• Minkowskiの不等式（三角不等式の一般化）
• 凸不等式（Jensenの不等式）
• 重み付き凸不等式
• 並べ替え不等式
• チェビシェフの不等式
• 重み付き累乗平均に関するチェビシェフの不等式
• Schurの不等式
  • 証明
• Muirheadの不等式
  • 証明
• Gronwallの不等式
  • 証明

相加相乗調和平均

→証明

重み付き相加相乗調和平均

重みが全て 1/n の場合が通常の相加相乗調和平均です。

→証明

累乗平均（相加相乗調和平均の一般化）

r=-1,0,1 で単調増加性を適用すると，通常の相加相乗調和平均が得られます。

重み付き累乗平均

重みが全て 1/n の場合が通常の累乗平均です。

コーシー・シュワルツの不等式

ただしゼロベクトルは任意のベクトルと平行とします。

→証明

Hölderの不等式（コーシー・シュワルツの不等式の一般化）

→証明

Minkowskiの不等式（三角不等式の一般化）

p=1 の場合が通常の三角不等式です。

凸不等式（Jensenの不等式）

重み付き凸不等式

重みが全て 1/n の場合が通常の凸不等式です。

並べ替え不等式

チェビシェフの不等式

重み付き累乗平均に関するチェビシェフの不等式

重みが全て 1/n でかつ r=1 の場合が通常のチェビシェフの不等式です。

Schurの不等式

証明

Muirheadの不等式

証明

Gronwallの不等式

証明