相加相乗平均の有名な証明方法は重み付き相加相乗平均の証明を参照してください。

ここでは，代数的変形による証明方法を紹介します。

Hurwitzの証明

まず，n=3のときは，

という代数的変形で証明できます。

同様の方法でもっと大きな n に関して証明することも，大変ですが可能です。

例えば，n=4のときは，

となり，n=5のときは，

となります。

これらの証明方法を，一般の n に対して拡張したものが，以下の Hurwitzの証明です。

ヤコブスタールの証明

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