キーポイント偏微分方程式 (理工系数学のキーポイント 10)
最終更新：
uedam1984b 2021年12月12日(日) 17:24:38履歴
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キーポイント偏微分方程式 (理工系数学のキーポイント 10)
目次
編集にあたって
まえがき
ポイント1 偏微分方程式と常微分方程式
常微分と偏微分
例題1.1
合成関数の微分法
例題1.2
例題1.3
用語の整理
簡単な偏微分方程式を解く
幾何学的な意味
少し複雑な偏微分方程式を解く
(i) 変数変換
(ii) 変数を減らす
例題1.4
(iii) 似ている形に注目
例題1.5
初期条件・境界条件を満足する解
例題1.6
ポイント2 ともかく解ける1階偏微分方程式
ラグランジュの偏微分方程式
例題2.1
例題2.2
例題2.3
全微分方程式
例題2.4
一般の1階偏微分方程式の解法
例題2.5
例題2.6
完全解, 一般解, 特異解
ポイント3 双曲型, 放物型, 楕円型
2階線形偏微分方程式の分類
(i) 双曲型
例題3.1
(ii) 放物型
(iii) 楕円型
物理法則からの偏微分方程式の導出
(1) 弦の振動
(2) 針金の熱伝導
(3) ラプラス方程式
ラプラス方程式の解の性質
解の一意性
熱伝導方程式の解の性質
例題3.2
例題3.3
波動方程式の解の性質
ポイント4 強力な解法―変数分離法
有限長さの弦の振動
変数分離法
例題4.1
常微分方程式の解
固有値と固有関数
初期条件を満足する解
解の重ね合わせ
重ね合わせの一般化
例題4.2
未定の係数の決定法
例題4.3
例題4.4
ポイント5 まるい境界での波動方程式
円形膜の振動
極座標における微分
例題5.1
変数分離法による解
例題5.2
直交関数展開
弦の振動と太鼓の膜の振動
ポイント6 いろいろな座標系でのラプラス方程式の解
ラプラス方程式
平板の温度分布
円板の温度分布
例題6.1
ポアソンの積分公式
ポアソンの積分公式の別の導き方
球の内部の温度分布
例題6.2
スツルム・リウビル問題
ポイント7 非同次も解ける固有関数展開法
変数分離法が使える条件
有限長さの針金の熱伝導
半無限長さの針金の熱伝導
積分内の関数の求め方
例題7.1
非同次境界条件
非同次の偏微分方程式
固有関数展開
例題7.2
例題7.3
ポイント8 フーリエ変換とグリーン関数
フーリエ変換
例題8.1
フーリエ変換の性質
例題8.2
例題8.3
フーリエ変換を利用した解法
例題8.4
グリーン関数
グリーン関数による解法
例題8.5
例題8.6
例題8.7
グリーン関数を求めてみよう
例題8.8
境界条件を満足する解
例題8.9
ポイント9 最後の切り札―差分解法
差分法
例題9.1
常微分方程式の境界値問題
初期値問題
偏微分方程式の境界値問題
ラプラシアンの意味
初期値・境界値問題
ポイントA 特殊関数は特殊でない
常微分方程式の級数値解法
例題A.1
ルジャンドルの多項式
例題A.2
ベッセル関数
例題A.3
ガンマ関数
例題A.4
ベッセル関数の性質
例題A.5
例題A.6
ベッセルの微分方程式のもう1つの解
例題A.7
あとがき
さくいん
キーポイントフーリエ解析 (理工系数学のキーポイント 9)
目次
編集にあたって
まえがき
ポイント1 フーリエ級数は何を表しているのか
さまざまな周期関数
例題1.1
例題1.2
周期関数を三角関数の和で表してみよう
例題1.3
例題1.4
フーリエ級数の計算の仕方
例題1.5
例題1.6
例題1.7
フーリエ級数から何がわかるか
例題1.8
例題1.9
例題1.10
例題1.11
例題1.12
ポイント2 フーリエ級数の収束
無限個の和の収束とは
滑らかな関数なら収束する
例題2.1
例題2.2
不連続点をもつ関数には要注意
例題2.3
例題2.4
例題2.5
「収束」にもいろいろある
平均収束の意味での収束とは
例題2.6
例題2.7
例題2.8
ポイント3 複素フーリエ級数はなかなか便利
なぜ複素数を使うのか
複素フーリエ級数の表し方
例題3.1
例題3.2
例題3.3
例題3.4
フーリエ級数の微分・積分
例題3.5
例題3.6
例題3.7
横にずらした関数f(t-β)のフーリエ級数展開
例題3.8
例題3.9
ポイント4 直交級数としてのフーリエ級数
関数どうしが直交するとは
例題4.1
フーリエ級数も直交級数の1つ
例題4.2
どんな関数でも表せるのが完全な関数系だ
例題4.3
例題4.4
ルジャンドル多項式系も重要メンバー
例題4.5
例題4.6
どの直交級数を使えばよいか
例題4.7
ポイント5 フーリエ変換のイメージ
まず周期関数をフーリエ級数展開する
周期を無限大にすると和が積分に
フーリエ変換と逆変換
例題5.1
例題5.2
例題5.3
例題5.4
例題5.5
フーリエ変換は何を表しているのか
フーリエ変換できる関数, できない関数
例題5.6
例題5.7
ポイント6 フーリエ変換を計算してみよう
是非知っておきたい性質
例題6.1
例題6.2
例題6.3
微分・積分した関数のフーリエ変換
例題6.4
例題6.5
例題6.6
合成積, 積のフーリエ変換とパーシバルの等式
例題6.7
例題6.8
しばしば使うexp(-βt2)のフーリエ変換
例題6.9
ポイント7 熱伝導方程式を解く
熱伝導方程式とはどんなものか
フーリエ級数をどう使うか
例題7.1
無限領域ではフーリエ変換
例題7.2
他の偏微分方程式にも使える
例題7.3
例題7.4
例題7.5
ポイント8 エネルギースペクトルの考え方
エネルギースペクトルってどんなもの
例題8.1
例題8.2
役に立つが万能ではない
いろんな例で考えてみよう
例題8.3
例題8.4
例題8.5
例題8.6
例題8.7
パワースペクトルもよく似たもの
ポイント9 とびとびデータのフーリエ解析
とびとびデータを扱う必要性
周期的な離散データのフーリエ級数展開
例題9.1
例題9.2
例題9.3
例題9.4
サンプリング周期はどう選べばよいか
例題9.5
例題9.6
例題9.7
離散データのフーリエ変換
例題9.8
あとがき
・今村勤：物理とフーリエ変換, 岩波書店
・江沢洋：フーリエ解析, 講談社
・小出昭一郎：物理現象のフーリエ解析
・H.P.スウ：フーリエ解析, 森北出版
・大石進一：フーリエ解析, 岩波書店
・河田龍夫：FOURIER解析, 産業図書
・日野幹雄：スペクトル解析, 朝倉書店
さくいん
キーポイント確率統計 (理工系数学のキーポイント 6)
目次
編集にあたって
まえがき
ポイント1 確率・統計をなぜ勉強するのか
確率論と統計学
確率・統計は何のためにあるのか
確率・統計の歴史
まとめとして
ポイント2 確率変数と確率分布
確率変数とただの変数とはどう違う？
確率と確率分布
例題2.1
同じ行為を何度か行う時
例題2.2
身長や体重の分布はどう表されるか
銀行窓口で待たされるとき
例題2.3
平均と分散
(1) 平均μ
(2) 分散σ2
例題2.4
高次モーメントと母関数・特性関数
ポイント3 2項分布は「確率論」の始め
ゲームに始まる2項分布
例題3.1
例題3.2
例題3.3
例題3.4
2項分布の平均・分散と特性関数
(1) 階乗
(2) 組合せの数
2項分布の再導出
2項分布の平均と分散
2項分布の特性関数
2項分布の親としての超幾何分布
例題3.5
ポイント4 まれな現象はポアソン分布
ポアソン分布はどんな分布か
例題4.1
ポアソン分布の平均と分散
ポアソン分布の特性関数
2項分布の極限としてのポアソン分布
(i) 確率関数による方法
(ii) 特性関数による方法
例題4.2
指数分布の裏としてのポアソン分布
例題4.3
例題4.4
ポイント5 正規分布はなぜ重要か
正規分布とはどんな分布か
例題5.1
正規分布の平均・分散および特性関数
中心極限定理とはどんな定理か
例題5.2
中心極限定理はなぜ成り立つのか
正規分布の応用あれこれ
(1) 2項分布の正規分布による近似
例題5.3
(2) 微分方程式の解としての正規分布
(3) マックスウェル分布
(4) 検定・推定の基礎となる正規分布
ポイント6 データ処理と標本分布
整理されていないデータは誰も見てくれない
標本平均と標本分散
例題6.1
相関と相関係数
例題6.2
実験データから法則を発見する
例題6.3
「母集団と標本」という考え方
正規母集団から導かれる標本分布のいろいろ
(1) χ2乗分布
(2) t分布
(3) F分布
ポイント7 検定・推定の実際
検定・推定の考え方
例題7.1
例題7.2
例題7.3
いろいろな検定・推定
(1) 分散に関する検定・推定（χ2分布）
例題7.4
(2) 平均に関する検定・推定（t分布）
例題7.5
(3) 分散の比に関する検定（F分布）
例題7.6
(4) 分散が等しい場合の母平均の差の推測（t分布）
(5) 適合度検定
例題7.7
例題7.8
ポイント8 確率過程とシミュレーション
ランダム・ウォーク
例題8.1
ランダム・ウォークの平均と分散
確率関数p(x,n)正規分布による近似
p(x,n)の満たす差分方程式
乱数とその作り方
正規乱数とポアソン乱数
ランダム・ウォークのシミュレーション
例題8.2
例題8.3
例題8.4
確率論の発展
付表
正規分布
χ2乗分布
t分布
F分布
あとがき
・小針晛宏：確率・統計入門, 岩波書店
・薩摩順吉：確率・統計, 岩波書店
・W.フェラー：確率論とその応用��, ��, 紀伊國屋書店
・G.W.スネデカー・W.G.コクラン：統計的方法（原書第6版）, 岩波書店
・伊藤清：確率論, 岩波書店
・W.H.ブレス他： Numerical Recipes, Cambridge Univ. Press
・奥村晴彦：C言語による最新アルゴリズム事典, 技術評論社
・N.ウィーナー：サイバネティックス, 岩波書店
・P.レヴィ：一確率論研究者の回想, 岩波書店
さくいん
キーポイント ベクトル解析 (理工系数学のキーポイント 3)
目次
編集にあたって
まえがき
ポイント1 ベクトルとスカラーの違い
ベクトルの導入
矢印を平行移動したものは、同じベクトルか
ベクトルの和や差はどのように作られるか
例題1.1
例題1.2
矢印と座標系とはどう関連しているか
例題1.3
単位ベクトルとは何か
例題1.4
ベクトルやスカラーは, 視点を変えるとどう変化するか
例題1.5
ポイント2 ベクトルどうしの積の意味
なぜベクトルどうしをかけるのか：スカラー積の導入
例題2.1
スカラー積の基本的な法則を押さえておこう
例題2.2
スカラー積をベクトルの成分で表そう
例題2.3
なぜベクトルどうしを掛けるのか：ベクトル積の導入
ベクトル積の法則の特徴
例題2.4
ベクトル積をベクトルの成分で表そう
例題2.5
例題2.6
ポイント3 場の概念に慣れよう
場と軌道の違い
例題3.1
ベクトル場の流出量や流入量
例題3.2
例題3.3
ポイント4 場の微分の捉え方
偏微分とは何か
例題4.1
スカラー場の勾配を表す偏微分：grad
例題4.2
ベクトル場の湧き出しを表す偏微分：div
例題4.3
ベクトル場の回転を表す偏微分：rot
例題4.4
例題4.5
場の微分の公式はどう理解したらよいか
例題4.6
例題4.7
ポイント5 やさしい場の積分
積分とはつまるところ何なのか
スカラーやベクトルの体積分
例題5.1
ベクトル場の面積分
例題5.2
例題5.3
ベクトル場の線積分
例題5.4
例題5.5
ポイント6 ガウスの定理がわかる
関数の微分を積分するとどうなるか
まず2次元のガウスの定理を理解しよう
例題6.1
例題6.2
3次元のガウスの定理を理解しよう
例題6.3
例題6.4
物理学におけるガウスの定理
ポイント7 ストークスの定理をつかむ
2次元のベクトル場について定理を理解しよう
例題7.1
例題7.2
微小な周積分の総和でストークスの定理を証明しよう
例題7.3
渦運動とアンペールの定理
ストークスの定理とポテンシャル関数
例題7.4
ポイント8 テンソルとは何か
テンソルを実感する
例題8.1
テンソルと行列はどこが違うのか
例題8.2
例題8.3
視点を変えてテンソルを見てみよう
テンソルはスカラーやベクトルと本質的にどう違うのか
例題8.4
テンソルの主軸とは何か
例題8.5
ポイント9 曲率を考える理由
平面曲線の曲率はどう定義されるか
例題9.1
y=f(x)で与えられた平面曲線の曲率
例題9.2
立体曲線の曲率やねじれはどのように定義されるか
例題9.3
曲面の曲率はどのように定義されるか
例題9.4
z=f(x,y)で与えられた曲面の曲率
例題9.5
ガウスの曲率とは何か
あとがき
索引
キーポイント線形代数 (理工系数学のキーポイント 2)
目次
編集にあたって
まえがき
ポイント1 ガウスの消去法はオールマイティー
なぜガウスの消去法か
連立1次方程式を確実に解こう
例題1.1
ピボットが0になったらどうする
例題1.2
例題1.3
見かけの式の数にだまされるな
例題1.4
例題1.5
例題1.6
ポイント2 行列式の出どころ
なぜクラメルの公式が必要か
2元連立1次方程式の解
例題2.1
例題2.2
行列式のいろいろな性質
3元連立1次方程式の解
例題2.3
例題2.4
置換による行列式の定義
例題2.5
行列式の計算もガウスの消去法で
例題2.6
例題2.7
ポイント3 逆行列は逆数の行列版
行列の積
例題3.1
例題3.2
余因子展開とは
行列式の積
逆行列の公式
例題3.3
逆行列の計算もガウスの消去法で
例題3.4
ポイント4 ベクトル空間に慣れよう
位置ベクトルと数ベクトル
ベクトルの線形独立と線形従属
例題4.1
例題4.2
基底とは
ベクトル空間
例題4.3
例題4.4
ベクトル空間の次元
例題4.5
例題4.6
部分空間
ポイント5 線形変換とその役割
線形変換とは
なぜ線形変換と呼ぶか
線形変換の幾何学的イメージ
例題5.1
座標変換も線形変換
逆変換
例題5.2
ポイント6 ランクの定義はどれでも同じ
ランクの計算もガウスの消去法で
例題6.1
例題6.2
ランクの意味
例題6.3
小行列式によるランクの定義
例題6.4
連立1次方程式とランク
例題6.5
ポイント7 線形代数の基本定理とは
まずは線形写像から
線形写像の像と核
例題7.1
商空間とは
例題7.2
例題7.3
いよいよ基本定理
連立1次方程式への基本定理の応用
例題7.4
ポイント8 固有値の意味をつかむ
固有値の幾何学的意味
固有値・固有ベクトルを計算する
例題8.1
例題8.2
微分方程式と固有値
例題8.3
ポイント9 行列を対角化する
行列の対角化とは
例題9.1
どんな行列でも対角化できるか
例題9.2
例題9.3
なぜ対角化をするのか
例題9.4
実対称行列は直交行列で
例題9.5
エルミート行列はユニタリ行列で
例題9.6
ポイント10 ジョルダン標準形は最後の切り札
2×2行列のジョルダン標準形
例題10.1
ジョルダン標準形と微分方程式
例題10.2
3×3行列のジョルダン標準形
例題10.3
例題10.4
例題10.5
ジョルダン標準形に対する注意
あとがき
さくいん
キーポイント 行列と変換群 (理工系数学のキーポイント 8)
目次
編集にあたって
まえがき
ポイント1 ベクトルを回転してみよう
2次元位置ベクトル
直交座標系の回転
内積は変わらない
行列を使ってみよう
ベクトルそのものの回転
一般の2次元ベクトルと正規直交基底
例題1.1
ポイント2 行列は回転を引き起こす
2次元回転行列の性質
直交行列とは
例題2.1
「群」を学%A
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キーポイント偏微分方程式 (理工系数学のキーポイント 10) 
目次
編集にあたって
まえがき
ポイント1 偏微分方程式と常微分方程式
常微分と偏微分
例題1.1
合成関数の微分法
例題1.2
例題1.3
用語の整理
簡単な偏微分方程式を解く
幾何学的な意味
少し複雑な偏微分方程式を解く
(i) 変数変換
(ii) 変数を減らす
例題1.4
(iii) 似ている形に注目
例題1.5
初期条件・境界条件を満足する解
例題1.6
ポイント2 ともかく解ける1階偏微分方程式
ラグランジュの偏微分方程式
例題2.1
例題2.2
例題2.3
全微分方程式
例題2.4
一般の1階偏微分方程式の解法
例題2.5
例題2.6
完全解, 一般解, 特異解
ポイント3 双曲型, 放物型, 楕円型
2階線形偏微分方程式の分類
(i) 双曲型
例題3.1
(ii) 放物型
(iii) 楕円型
物理法則からの偏微分方程式の導出
(1) 弦の振動
(2) 針金の熱伝導
(3) ラプラス方程式
ラプラス方程式の解の性質
解の一意性
熱伝導方程式の解の性質
例題3.2
例題3.3
波動方程式の解の性質
ポイント4 強力な解法―変数分離法
有限長さの弦の振動
変数分離法
例題4.1
常微分方程式の解
固有値と固有関数
初期条件を満足する解
解の重ね合わせ
重ね合わせの一般化
例題4.2
未定の係数の決定法
例題4.3
例題4.4
ポイント5 まるい境界での波動方程式
円形膜の振動
極座標における微分
例題5.1
変数分離法による解
例題5.2
直交関数展開
弦の振動と太鼓の膜の振動
ポイント6 いろいろな座標系でのラプラス方程式の解
ラプラス方程式
平板の温度分布
円板の温度分布
例題6.1
ポアソンの積分公式
ポアソンの積分公式の別の導き方
球の内部の温度分布
例題6.2
スツルム・リウビル問題
ポイント7 非同次も解ける固有関数展開法
変数分離法が使える条件
有限長さの針金の熱伝導
半無限長さの針金の熱伝導
積分内の関数の求め方
例題7.1
非同次境界条件
非同次の偏微分方程式
固有関数展開
例題7.2
例題7.3
ポイント8 フーリエ変換とグリーン関数
フーリエ変換
例題8.1
フーリエ変換の性質
例題8.2
例題8.3
フーリエ変換を利用した解法
例題8.4
グリーン関数
グリーン関数による解法
例題8.5
例題8.6
例題8.7
グリーン関数を求めてみよう
例題8.8
境界条件を満足する解
例題8.9
ポイント9 最後の切り札―差分解法
差分法
例題9.1
常微分方程式の境界値問題
初期値問題
偏微分方程式の境界値問題
ラプラシアンの意味
初期値・境界値問題
ポイントA 特殊関数は特殊でない
常微分方程式の級数値解法
例題A.1
ルジャンドルの多項式
例題A.2
ベッセル関数
例題A.3
ガンマ関数
例題A.4
ベッセル関数の性質
例題A.5
例題A.6
ベッセルの微分方程式のもう1つの解
例題A.7
あとがき
さくいん
キーポイントフーリエ解析 (理工系数学のキーポイント 9)
目次
編集にあたって
まえがき
ポイント1 フーリエ級数は何を表しているのか
さまざまな周期関数
例題1.1
例題1.2
周期関数を三角関数の和で表してみよう
例題1.3
例題1.4
フーリエ級数の計算の仕方
例題1.5
例題1.6
例題1.7
フーリエ級数から何がわかるか
例題1.8
例題1.9
例題1.10
例題1.11
例題1.12
ポイント2 フーリエ級数の収束
無限個の和の収束とは
滑らかな関数なら収束する
例題2.1
例題2.2
不連続点をもつ関数には要注意
例題2.3
例題2.4
例題2.5
「収束」にもいろいろある
平均収束の意味での収束とは
例題2.6
例題2.7
例題2.8
ポイント3 複素フーリエ級数はなかなか便利
なぜ複素数を使うのか
複素フーリエ級数の表し方
例題3.1
例題3.2
例題3.3
例題3.4
フーリエ級数の微分・積分
例題3.5
例題3.6
例題3.7
横にずらした関数f(t-β)のフーリエ級数展開
例題3.8
例題3.9
ポイント4 直交級数としてのフーリエ級数
関数どうしが直交するとは
例題4.1
フーリエ級数も直交級数の1つ
例題4.2
どんな関数でも表せるのが完全な関数系だ
例題4.3
例題4.4
ルジャンドル多項式系も重要メンバー
例題4.5
例題4.6
どの直交級数を使えばよいか
例題4.7
ポイント5 フーリエ変換のイメージ
まず周期関数をフーリエ級数展開する
周期を無限大にすると和が積分に
フーリエ変換と逆変換
例題5.1
例題5.2
例題5.3
例題5.4
例題5.5
フーリエ変換は何を表しているのか
フーリエ変換できる関数, できない関数
例題5.6
例題5.7
ポイント6 フーリエ変換を計算してみよう
是非知っておきたい性質
例題6.1
例題6.2
例題6.3
微分・積分した関数のフーリエ変換
例題6.4
例題6.5
例題6.6
合成積, 積のフーリエ変換とパーシバルの等式
例題6.7
例題6.8
しばしば使うexp(-βt2)のフーリエ変換
例題6.9
ポイント7 熱伝導方程式を解く
熱伝導方程式とはどんなものか
フーリエ級数をどう使うか
例題7.1
無限領域ではフーリエ変換
例題7.2
他の偏微分方程式にも使える
例題7.3
例題7.4
例題7.5
ポイント8 エネルギースペクトルの考え方
エネルギースペクトルってどんなもの
例題8.1
例題8.2
役に立つが万能ではない
いろんな例で考えてみよう
例題8.3
例題8.4
例題8.5
例題8.6
例題8.7
パワースペクトルもよく似たもの
ポイント9 とびとびデータのフーリエ解析
とびとびデータを扱う必要性
周期的な離散データのフーリエ級数展開
例題9.1
例題9.2
例題9.3
例題9.4
サンプリング周期はどう選べばよいか
例題9.5
例題9.6
例題9.7
離散データのフーリエ変換
例題9.8
あとがき
・今村勤：物理とフーリエ変換, 岩波書店
・江沢洋：フーリエ解析, 講談社
・小出昭一郎：物理現象のフーリエ解析
・H.P.スウ：フーリエ解析, 森北出版
・大石進一：フーリエ解析, 岩波書店
・河田龍夫：FOURIER解析, 産業図書
・日野幹雄：スペクトル解析, 朝倉書店
さくいん
キーポイント確率統計 (理工系数学のキーポイント 6)
目次
編集にあたって
まえがき
ポイント1 確率・統計をなぜ勉強するのか
確率論と統計学
確率・統計は何のためにあるのか
確率・統計の歴史
まとめとして
ポイント2 確率変数と確率分布
確率変数とただの変数とはどう違う？
確率と確率分布
例題2.1
同じ行為を何度か行う時
例題2.2
身長や体重の分布はどう表されるか
銀行窓口で待たされるとき
例題2.3
平均と分散
(1) 平均μ
(2) 分散σ2
例題2.4
高次モーメントと母関数・特性関数
ポイント3 2項分布は「確率論」の始め
ゲームに始まる2項分布
例題3.1
例題3.2
例題3.3
例題3.4
2項分布の平均・分散と特性関数
(1) 階乗
(2) 組合せの数
2項分布の再導出
2項分布の平均と分散
2項分布の特性関数
2項分布の親としての超幾何分布
例題3.5
ポイント4 まれな現象はポアソン分布
ポアソン分布はどんな分布か
例題4.1
ポアソン分布の平均と分散
ポアソン分布の特性関数
2項分布の極限としてのポアソン分布
(i) 確率関数による方法
(ii) 特性関数による方法
例題4.2
指数分布の裏としてのポアソン分布
例題4.3
例題4.4
ポイント5 正規分布はなぜ重要か
正規分布とはどんな分布か
例題5.1
正規分布の平均・分散および特性関数
中心極限定理とはどんな定理か
例題5.2
中心極限定理はなぜ成り立つのか
正規分布の応用あれこれ
(1) 2項分布の正規分布による近似
例題5.3
(2) 微分方程式の解としての正規分布
(3) マックスウェル分布
(4) 検定・推定の基礎となる正規分布
ポイント6 データ処理と標本分布
整理されていないデータは誰も見てくれない
標本平均と標本分散
例題6.1
相関と相関係数
例題6.2
実験データから法則を発見する
例題6.3
「母集団と標本」という考え方
正規母集団から導かれる標本分布のいろいろ
(1) χ2乗分布
(2) t分布
(3) F分布
ポイント7 検定・推定の実際
検定・推定の考え方
例題7.1
例題7.2
例題7.3
いろいろな検定・推定
(1) 分散に関する検定・推定（χ2分布）
例題7.4
(2) 平均に関する検定・推定（t分布）
例題7.5
(3) 分散の比に関する検定（F分布）
例題7.6
(4) 分散が等しい場合の母平均の差の推測（t分布）
(5) 適合度検定
例題7.7
例題7.8
ポイント8 確率過程とシミュレーション
ランダム・ウォーク
例題8.1
ランダム・ウォークの平均と分散
確率関数p(x,n)正規分布による近似
p(x,n)の満たす差分方程式
乱数とその作り方
正規乱数とポアソン乱数
ランダム・ウォークのシミュレーション
例題8.2
例題8.3
例題8.4
確率論の発展
付表
正規分布
χ2乗分布
t分布
F分布
あとがき
・小針晛宏：確率・統計入門, 岩波書店
・薩摩順吉：確率・統計, 岩波書店
・W.フェラー：確率論とその応用��, ��, 紀伊國屋書店
・G.W.スネデカー・W.G.コクラン：統計的方法（原書第6版）, 岩波書店
・伊藤清：確率論, 岩波書店
・W.H.ブレス他： Numerical Recipes, Cambridge Univ. Press
・奥村晴彦：C言語による最新アルゴリズム事典, 技術評論社
・N.ウィーナー：サイバネティックス, 岩波書店
・P.レヴィ：一確率論研究者の回想, 岩波書店
さくいん
キーポイント ベクトル解析 (理工系数学のキーポイント 3)
目次
編集にあたって
まえがき
ポイント1 ベクトルとスカラーの違い
ベクトルの導入
矢印を平行移動したものは、同じベクトルか
ベクトルの和や差はどのように作られるか
例題1.1
例題1.2
矢印と座標系とはどう関連しているか
例題1.3
単位ベクトルとは何か
例題1.4
ベクトルやスカラーは, 視点を変えるとどう変化するか
例題1.5
ポイント2 ベクトルどうしの積の意味
なぜベクトルどうしをかけるのか：スカラー積の導入
例題2.1
スカラー積の基本的な法則を押さえておこう
例題2.2
スカラー積をベクトルの成分で表そう
例題2.3
なぜベクトルどうしを掛けるのか：ベクトル積の導入
ベクトル積の法則の特徴
例題2.4
ベクトル積をベクトルの成分で表そう
例題2.5
例題2.6
ポイント3 場の概念に慣れよう
場と軌道の違い
例題3.1
ベクトル場の流出量や流入量
例題3.2
例題3.3
ポイント4 場の微分の捉え方
偏微分とは何か
例題4.1
スカラー場の勾配を表す偏微分：grad
例題4.2
ベクトル場の湧き出しを表す偏微分：div
例題4.3
ベクトル場の回転を表す偏微分：rot
例題4.4
例題4.5
場の微分の公式はどう理解したらよいか
例題4.6
例題4.7
ポイント5 やさしい場の積分
積分とはつまるところ何なのか
スカラーやベクトルの体積分
例題5.1
ベクトル場の面積分
例題5.2
例題5.3
ベクトル場の線積分
例題5.4
例題5.5
ポイント6 ガウスの定理がわかる
関数の微分を積分するとどうなるか
まず2次元のガウスの定理を理解しよう
例題6.1
例題6.2
3次元のガウスの定理を理解しよう
例題6.3
例題6.4
物理学におけるガウスの定理
ポイント7 ストークスの定理をつかむ
2次元のベクトル場について定理を理解しよう
例題7.1
例題7.2
微小な周積分の総和でストークスの定理を証明しよう
例題7.3
渦運動とアンペールの定理
ストークスの定理とポテンシャル関数
例題7.4
ポイント8 テンソルとは何か
テンソルを実感する
例題8.1
テンソルと行列はどこが違うのか
例題8.2
例題8.3
視点を変えてテンソルを見てみよう
テンソルはスカラーやベクトルと本質的にどう違うのか
例題8.4
テンソルの主軸とは何か
例題8.5
ポイント9 曲率を考える理由
平面曲線の曲率はどう定義されるか
例題9.1
y=f(x)で与えられた平面曲線の曲率
例題9.2
立体曲線の曲率やねじれはどのように定義されるか
例題9.3
曲面の曲率はどのように定義されるか
例題9.4
z=f(x,y)で与えられた曲面の曲率
例題9.5
ガウスの曲率とは何か
あとがき
- 安藤忠次：ベクトル解析（培風館）
- 戸田盛和：ベクトル解析（岩波書店）
- 堀淳一：物理数学��, �供紛ξ�出版）
- 寺田文行他：演習ベクトル解析（サイエンス社）
- H.P.スウ：ベクトル解析（工学基礎演習シリーズ, 森北出版）
- 田代嘉宏：テンソル解析（裳華房）
- 佐藤伊助：いろいろな曲線と曲面（裳華房）
索引
キーポイント線形代数 (理工系数学のキーポイント 2)
目次
編集にあたって
まえがき
ポイント1 ガウスの消去法はオールマイティー
なぜガウスの消去法か
連立1次方程式を確実に解こう
例題1.1
ピボットが0になったらどうする
例題1.2
例題1.3
見かけの式の数にだまされるな
例題1.4
例題1.5
例題1.6
ポイント2 行列式の出どころ
なぜクラメルの公式が必要か
2元連立1次方程式の解
例題2.1
例題2.2
行列式のいろいろな性質
3元連立1次方程式の解
例題2.3
例題2.4
置換による行列式の定義
例題2.5
行列式の計算もガウスの消去法で
例題2.6
例題2.7
ポイント3 逆行列は逆数の行列版
行列の積
例題3.1
例題3.2
余因子展開とは
行列式の積
逆行列の公式
例題3.3
逆行列の計算もガウスの消去法で
例題3.4
ポイント4 ベクトル空間に慣れよう
位置ベクトルと数ベクトル
ベクトルの線形独立と線形従属
例題4.1
例題4.2
基底とは
ベクトル空間
例題4.3
例題4.4
ベクトル空間の次元
例題4.5
例題4.6
部分空間
ポイント5 線形変換とその役割
線形変換とは
なぜ線形変換と呼ぶか
線形変換の幾何学的イメージ
例題5.1
座標変換も線形変換
逆変換
例題5.2
ポイント6 ランクの定義はどれでも同じ
ランクの計算もガウスの消去法で
例題6.1
例題6.2
ランクの意味
例題6.3
小行列式によるランクの定義
例題6.4
連立1次方程式とランク
例題6.5
ポイント7 線形代数の基本定理とは
まずは線形写像から
線形写像の像と核
例題7.1
商空間とは
例題7.2
例題7.3
いよいよ基本定理
連立1次方程式への基本定理の応用
例題7.4
ポイント8 固有値の意味をつかむ
固有値の幾何学的意味
固有値・固有ベクトルを計算する
例題8.1
例題8.2
微分方程式と固有値
例題8.3
ポイント9 行列を対角化する
行列の対角化とは
例題9.1
どんな行列でも対角化できるか
例題9.2
例題9.3
なぜ対角化をするのか
例題9.4
実対称行列は直交行列で
例題9.5
エルミート行列はユニタリ行列で
例題9.6
ポイント10 ジョルダン標準形は最後の切り札
2×2行列のジョルダン標準形
例題10.1
ジョルダン標準形と微分方程式
例題10.2
3×3行列のジョルダン標準形
例題10.3
例題10.4
例題10.5
ジョルダン標準形に対する注意
あとがき
さくいん
キーポイント 行列と変換群 (理工系数学のキーポイント 8)
目次
編集にあたって
まえがき
ポイント1 ベクトルを回転してみよう
2次元位置ベクトル
直交座標系の回転
内積は変わらない
行列を使ってみよう
ベクトルそのものの回転
一般の2次元ベクトルと正規直交基底
例題1.1
ポイント2 行列は回転を引き起こす
2次元回転行列の性質
直交行列とは
例題2.1
「群」を学%A
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