無限平面と点の距離

3D空間上のある無限平面とある点Ｑの距離を出すには、

距離　＝　内積（ 平面の法線、Ｑ点座標 ）　−　平面方程式のd;

(注：平面の法線は正規化されてる必要がある)


どうしてこのようになるかと言うと

まず、点Ｑの平面上の最接近点Rがあると考えます。
また平面上のどこかに点Ｐがあり、法線Ｎとdはわかっているとします。

このRは

点Ｑから、法線Ｎと面からＱまでの距離tを掛けたベクトルを引くことによって得られます。
(方向としてのＮベクトルに距離を掛ければ最接近点ＲからＱまでの距離になるのです)
(あと、まだこの時点でｔもＲもＰもわかっていませんが、式として表せます)

Ｒ　＝　Ｑ　ー　Ｎ　*　t;

このＲをax+by+cz-d=0の平面方程式に当てはめると
(Ｒをxyz,法線Ｎをabcとする。ax+by+czはabcとxyzの内積であるので)

Ｒ・Ｎ - d　＝　0;

Ｒに最初の式に当てはめると

（Ｑ　ー　Ｎ　*　t）・ Ｎ - d　＝　0;

平面方程式のdは、Ｎと点Pの内積なので(ax+by+cz=dの、ax+by+czはabcとxyzの内積であるので)

（Ｑ　ー　Ｎ　*　t）・ Ｎ　-　P　・　Ｎ　＝　0;

Ｎ ・は統一して

Ｎ ・（（Ｑ　ー　Ｎ　*　t）　-　P　）＝　0;

Ｎの内積を展開

Ｎ・Ｑ　−　Ｎ・（Ｎ * ｔ）　−　Ｎ・Ｐ　＝　0;

Ｎ・Ｑ　−　Ｎ・Ｐ　＝　Ｎ・（Ｎ * ｔ）;

Ｎ・（Ｑ　−　Ｐ）　＝　t(Ｎ・Ｎ);

両辺をＮ・Ｎで割ると

Ｎ・（Ｑ　−　Ｐ）　／　(Ｎ・Ｎ)　＝　ｔ;

t ＝　Ｎ・（Ｑ　−　Ｐ）　／　(Ｎ・Ｎ);

で法線Ｎが正規化されてるとＮ・Ｎは1であるから

t ＝　Ｎ・（Ｑ　−　Ｐ）;

とできる。　

点Ｐを使いたくないときは、もう少し展開して

t　＝　Ｎ・Ｑ　−　Ｎ・Ｐ;

平面方程式のdは法線Ｎと点Ｐの内積なので(ax+by+czはabcとxyzの内積)

t　＝　Ｎ・Ｑ　−　d;


距離　＝　内積（ 平面の法線、Ｑ点座標 ）　−　平面方程式のd;

C++

float distancePlaneToPoint(TPlane &plane, TVector &point)
{
return dot(plane.n, point) - plane.d;
};