集合への30講 (数学30講シリーズ)
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uedam1984b 2021年05月17日(月) 13:04:25履歴
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集合への30講 (数学30講シリーズ)
目次
はしがき
第1講 身近なところにある集合
まわりを見まわしてみる
『砂の計算者』
地球上にある砂粒全体の集合
皿の集合
1つ1つの認識と全体の認識
Tea Time：
第2講 自然数の集合
自然数の機能
自然数全体のつくる集合
有限集合と無限集合
Nの無限集合としての1つの性質
Tea Time：大きな数
第3講 集合に関する基本概念
集合と元
部分集合
元aと, aからなる部分集合{a}
部分集合全体のつくる集合
Tea Time：
第4講 有限集合の間の演算, 個数の計算
有限集合の元の個数
和集合と共通部分
直積集合
集合M^N
MからNへの写像全体のつくる集合
部分集合の個数
Tea Time：
第5講 可算集合
個数と1対1対応
1対1対応と濃度
可算集合の例
高々可算集合
Tea Time：
第6講 可算集合の和集合と直積集合
自然数の集合の分解
可算集合の和集合
可算集合の直積集合
Tea Time：
第7講 数直線上の可算集合
数直線
有理数の集合
有理数の集合と積集合
数直線上の有理点
互いに重なり合わない線分のつくる集合
Tea Time：代数的な数全体のつくる集合
第8講 実数の構造―小数展開
10進法
無限小数展開
0.999…99…=1
実数と数直線
Tea Time：
第9講 2進法, 3進法, ・・・
2進法
3進法
カントル集合
区間[0, 1)に属する実数の’自然数展開’
Tea Time：カントル集合のもつ1つの性質
第10講 実数の集合
実数の集合R
対角線論法
連続体の濃度
無限集合と高々可算集合の直和
無理数全体のつくる集合
濃度Nをもつ集合の例
Tea Time：超越数の集合
第11講 一般的な設定へ
はじめに
集合と元
部分集合
和集合, 直和, 共通部分
ド・モルガンの規則
Tea Time：
第12講 写像
写像
像集合, 上への写像
1対1写像
1対1対応, 対等
合成写像, 逆写像
集合族
集合族の和集合, 直和, 共通部分
集合列の和集合, 直和, 共通部分
Tea Time：関数と写像
第13講 直積集合と写像の集合
直積集合
集合AΓ
写像の集合
R^R
写像と直積集合
べき集合Β(M)とMap(M, {0,1})
’公式’
Tea Time：公式(4),(5)とべき公式
第14講 濃度
濃度を表す記号
濃度の演算―和
濃度の演算―積
濃度の演算―べき
Map(M, N)とΒ(M)の濃度
Β(N)の濃度
Tea Time：
第15講 濃度の大小
濃度の大小関係
ベルンシュタインの定理
定理の系と注意
Tea Time：
第16講 連続体の濃度をもつ集合
公式
平面上の点の集合
平面上の円全体のつくる集合
平面上の凸5角形全体のつくる集合
Tea Time：次元について
第17講 連続体の濃度をもつ集合（続き）
公式
自然数列のつくる集合
実数列のつくる集合
連続関数
連続関数のつくる集合
Tea Time：
第18講 べき集合の濃度
より高い濃度の集合
定理の証明
RからRへの写像
より高い濃度の集合
無限の段階, 集合の実在
Tea Time：
第19講 可算集合を並べる
序数
1つの注意
可算集合を並べてみる
有限集合と無限集合の並ばせ方の違い
順序数ω
Tea Time：整数の集合の並び方
第20講 順序集合
問題の設定
順序集合
全順序集合
順序集合の同型
Tea Time：環状線の駅は順序集合になっていない
第21講 整列集合
整列集合の定義
整列集合の例
さらに続ける
N, M, M'は同型ではない
Tea Time：
第22講 整列集合の性質
整列集合に対する注意
超限帰納法
同型対応の一意性
整列集合の切片
Tea Time：
第23講 整列集合の基本定理
基本定理
証明の組み立て
（A）=>（a）または（ｂ）, の証明
（Ｂ）=>（ｂ）の証明
（Ｃ）=>（ｃ）の証明
Tea Time：切片について
第24講 順序数
順序数
順序数の和
順序数の積
順序数の系列
Tea Time：
第25講 比較可能定理, 整列可能定理
順序数の大小
比較可能定理
整列可能定理―序曲
背番号のある, なし
Tea Time：基数と序数再考
第26講 整列可能定理と選択公理
選択公理の出現
選択公理に対する批判
明確に表示するということ
整列可能定理と選択公理の同値性
Tea Time：
第27講 選択公理のヴァリエーション
はじめに
帰納的順序集合
帰納的順序集合定理
帰納的順序集合定理=>整列可能定理
同値性
ヴァリエーション
Tea Time：
第28講 選択公理からの帰結
選択公理を認める
無限集合の中の可算集合の存在
濃度の比較可能定理
濃度と順序数
無限の生成
Tea Time：
第29講 連続体仮説
問題の起こり
シェルピンスキーの『連続体仮説』
塩族対仮説の解決
Tea Time：
第30講 ゲオルグ・カントル
集合論とカントル
カントルの生い立ち
三角級数の一意性
実数の非可算性
集合論の誕生
Tea Time：
問題の解答
索引
数学30講（朝倉書店）
すうがくの風景（朝倉書店）
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集合への30講 (数学30講シリーズ) 
目次
はしがき
第1講 身近なところにある集合
まわりを見まわしてみる
『砂の計算者』
地球上にある砂粒全体の集合
皿の集合
1つ1つの認識と全体の認識
Tea Time：
第2講 自然数の集合
自然数の機能
自然数全体のつくる集合
有限集合と無限集合
Nの無限集合としての1つの性質
Tea Time：大きな数
第3講 集合に関する基本概念
集合と元
部分集合
元aと, aからなる部分集合{a}
部分集合全体のつくる集合
Tea Time：
第4講 有限集合の間の演算, 個数の計算
有限集合の元の個数
和集合と共通部分
直積集合
集合M^N
MからNへの写像全体のつくる集合
部分集合の個数
Tea Time：
第5講 可算集合
個数と1対1対応
1対1対応と濃度
可算集合の例
高々可算集合
Tea Time：
第6講 可算集合の和集合と直積集合
自然数の集合の分解
可算集合の和集合
可算集合の直積集合
Tea Time：
第7講 数直線上の可算集合
数直線
有理数の集合
有理数の集合と積集合
数直線上の有理点
互いに重なり合わない線分のつくる集合
Tea Time：代数的な数全体のつくる集合
第8講 実数の構造―小数展開
10進法
無限小数展開
0.999…99…=1
実数と数直線
Tea Time：
第9講 2進法, 3進法, ・・・
2進法
3進法
カントル集合
区間[0, 1)に属する実数の’自然数展開’
Tea Time：カントル集合のもつ1つの性質
第10講 実数の集合
実数の集合R
対角線論法
連続体の濃度
無限集合と高々可算集合の直和
無理数全体のつくる集合
濃度Nをもつ集合の例
Tea Time：超越数の集合
第11講 一般的な設定へ
はじめに
集合と元
部分集合
和集合, 直和, 共通部分
ド・モルガンの規則
Tea Time：
第12講 写像
写像
像集合, 上への写像
1対1写像
1対1対応, 対等
合成写像, 逆写像
集合族
集合族の和集合, 直和, 共通部分
集合列の和集合, 直和, 共通部分
Tea Time：関数と写像
第13講 直積集合と写像の集合
直積集合
集合AΓ
写像の集合
R^R
写像と直積集合
べき集合Β(M)とMap(M, {0,1})
’公式’
Tea Time：公式(4),(5)とべき公式
第14講 濃度
濃度を表す記号
濃度の演算―和
濃度の演算―積
濃度の演算―べき
Map(M, N)とΒ(M)の濃度
Β(N)の濃度
Tea Time：
第15講 濃度の大小
濃度の大小関係
ベルンシュタインの定理
定理の系と注意
Tea Time：
第16講 連続体の濃度をもつ集合
公式
平面上の点の集合
平面上の円全体のつくる集合
平面上の凸5角形全体のつくる集合
Tea Time：次元について
第17講 連続体の濃度をもつ集合（続き）
公式
自然数列のつくる集合
実数列のつくる集合
連続関数
連続関数のつくる集合
Tea Time：
第18講 べき集合の濃度
より高い濃度の集合
定理の証明
RからRへの写像
より高い濃度の集合
無限の段階, 集合の実在
Tea Time：
第19講 可算集合を並べる
序数
1つの注意
可算集合を並べてみる
有限集合と無限集合の並ばせ方の違い
順序数ω
Tea Time：整数の集合の並び方
第20講 順序集合
問題の設定
順序集合
全順序集合
順序集合の同型
Tea Time：環状線の駅は順序集合になっていない
第21講 整列集合
整列集合の定義
整列集合の例
さらに続ける
N, M, M'は同型ではない
Tea Time：
第22講 整列集合の性質
整列集合に対する注意
超限帰納法
同型対応の一意性
整列集合の切片
Tea Time：
第23講 整列集合の基本定理
基本定理
証明の組み立て
（A）=>（a）または（ｂ）, の証明
（Ｂ）=>（ｂ）の証明
（Ｃ）=>（ｃ）の証明
Tea Time：切片について
第24講 順序数
順序数
順序数の和
順序数の積
順序数の系列
Tea Time：
第25講 比較可能定理, 整列可能定理
順序数の大小
比較可能定理
整列可能定理―序曲
背番号のある, なし
Tea Time：基数と序数再考
第26講 整列可能定理と選択公理
選択公理の出現
選択公理に対する批判
明確に表示するということ
整列可能定理と選択公理の同値性
Tea Time：
第27講 選択公理のヴァリエーション
はじめに
帰納的順序集合
帰納的順序集合定理
帰納的順序集合定理=>整列可能定理
同値性
ヴァリエーション
Tea Time：
第28講 選択公理からの帰結
選択公理を認める
無限集合の中の可算集合の存在
濃度の比較可能定理
濃度と順序数
無限の生成
Tea Time：
第29講 連続体仮説
問題の起こり
シェルピンスキーの『連続体仮説』
塩族対仮説の解決
Tea Time：
第30講 ゲオルグ・カントル
集合論とカントル
カントルの生い立ち
三角級数の一意性
実数の非可算性
集合論の誕生
Tea Time：
問題の解答
索引
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