野海_『パンルヴェ方程式』

　振動論で遊んでみよう！のページへ

　楽しいサイエンスのページに戻る
　楽しい数学の森のページへ戻る

　フロントページに戻る

野海_『パンルヴェ方程式』

目次

はじめに

1. ベックルント変換とは
1.1 P11のハミルトン系表示
1.2 方程式から読み取れる解
1.3 ベックルント変換
1.4 ベックルント変換を合成する
1.5 解の生成
1.6 古典解の描像

2. 対称形式
2.1 PⅣの対称形式
2.2 基本的な特殊解
2.3 アフィン・ワイル群
2.4 ベックルント変換
2.5 PⅡの対称形式

3. τ関数
3.1 ポアソン構造とハミルトン系
3.2 τ関数とその微分方程式
3.3 τ関数のベックルント変換
3.4 τ関数のいろんな関係式
3.4.1 6個のτ関数の代数関係式
3.4.2 一直線に並んだ3個のτ関数の関係式
3.4.3 正六角形の周りでは
3.5 PⅡのτ関数
3.5.1 対称形式
3.5.2 ポアソン構造
3.5.3 ハミルトニアン
3.5.4 τ関数の微分方程式
3.5.5 τ関数のベックルント変換
3.5.6 τ関数の関係式

4. 格子上のτ関数
4.1 PⅡの格子
4.2 PⅣの格子
4.3 φ因子と岡本多項式
4.4 An-1型の離散系
4.5 An-1格子上のτ関数

5．ヤコビ-トゥルーディ公式
5.1 ヤング図形とマヤ図形
5.2 ヤコビ-トゥルーディ型の公式
5.3 PⅣとPⅡの例
5.4 シューア関数とφ因子

6. 行列式に強くなろう
6.1 小行列式の基本的性質
6.2 ガウス分解とヤコビの恒等式
6.3 三角行列の対角化
6.4 ブリュッカーの関係式

7. ガウス分解と双有理変換
7.1 f変数の双有理変換
7.2 ガウス分解に由来する双有理変換
7.3 τ関数はどこにいるか
7.4 ヤコビ-トゥルーディ型の明示公式
7.5 A∞型とAn-1型の双有理変換
7.5.1 A∞型の場合
7.5.2 An-1型への移行
7.6 アフィン・ワイル群のマヤ図形への作用

8. ラックス形式
8.1 線形常微分方程式との関係
8.2 PⅡ, PⅣの対称形式とラックス表示
8.2.1 PⅡの場合
8.2.2 PⅣの場合
8.2.3 一般の場合

付録A
A.0 パンルヴェ方程式のプロフィル
A.1 ハミルトン系
A.2 ポアソン構造と正準変換
A.3 リッカチ方程式
A.4 ベックルント変換の計算
A.5 古典解と不定因子
A.6 群の半直積
A.7 カルタン行列とディンキン図形
A.8 デマジュール作用素
A.9 広田の双線形作用素
A.10 外積代数の応用

あとがき
参考文献（抜粋）
・神保道夫：ホロノミック量子場
・河合・竹井：特異摂動の代数解析学
索引
編集者との対話

目次（ソリトンの数理）

まえがき

第1章　KdV方程式の対称性
§1.1 対称性と変換群
§1.2 KdV方程式の対称性
§1.3 Lax表示（線形方程式からのアプローチ）
演習問題

第2章　KdV階層
§2.1 擬微分作用素
§2.2 高次KdV方程式
§2.3 無限個の可換な対称性
§2.4 KP階層
演習問題

第3章　広田方程式と頂点作用素
§3.1 広田微分
§3.2 ｎソリトン
§3.3 頂点作用素
§3.4 双線形恒等式
演習問題

第4章　フェルミオンとそのカルキュラス
§4.1 微分と掛け算のなす代数（ボゾン）
§4.2 フェルミオン
§4.3 Fock表現
§4.4 双対・荷電・エネルギー
§4.5 Wickの定理
演習問題

第5章　ボゾン・フェルミオンの等価性
§5.1 母関数の効用
§5.2 正規積
§5.3 ボゾンの実現
§5.4 Fock空間の同型
§5.5 フェルミオンの実現
演習問題

第6章　変換群とτ関数
§6.1 群の作用とその軌道
§6.2 2次式のなすLie環
§6.3 KP階層の変換群
演習問題

第7章　KdV方程式の変換群
§7.1 KP階層とKdV階層
§7.2 KdV方程式の変換群
演習問題

第8章　有限次元Grassmann多様体とPlucker関係式
§8.1 有限次元Grassmann多様体
§8.2 Plucher座標
§8.3 Plucker関係式
演習問題

第9章　無限次元Grassmann多様体
§9.1 有限次元Fock空間の場合
§9.2 真空の軌道の記述
§9.3 Young図形と指標多項式
演習問題

第10章　双線形恒等式再び
§10.1 双線形恒等式とPlucker関係式
§10.2 Plucker関係式と広田方程式
演習問題

補遺
参考書
演習問題解答
索引

目次（渡辺_ソリトン物理入門）

序文

Ⅰ編　ソリトン入門

1 線形の波
1.1 格子を伝わる波
1.2 波動方程式
1.3 位相速度と群速度
1.4 一方向に進む波
1.5 波動方程式の解
1.6 分散系での波の伝播

2 非線形格子とK-dV方程式
2.1 非線形格子と孤立波
2.2 孤立波と格子の運動
2.3 K-dV方程式
2.4 分散効果と非線形効果
2.5 K-dV方程式の係数の変更
2.6 K-dV方程式の標準形
2.7 K-dV方程式のGalilei変換

3 K-dV方程式の2ソリトン解
3.1 孤立波の相互作用とソリトン
3.2 2ソリトン解の準備
3.3 K-dV方程式の2ソリトン解
3.4 2ソリトン解の具体例
3.5 K-dV方程式の保存量
3.6 K-dV方程式の初期値問題
3.7 ソリトンとさざ波
3.8 ソリトンが現れる物理系―プラズマのイオンプラズマ波
3.9 変形されたK-dV方程式とソリトン

4 戸田格子
4.1 戸田格子のソリトン
4.2 ソリトンの質量, 運動量, エネルギー
4.3 戸田格子の2ソリトン解（Ⅰ）
4.3 戸田格子の2ソリトン解（Ⅱ）―追い越し衝突
4.5 戸田格子の2ソリトン解（Ⅲ）―正面衝突
4.6 非線形LCはしご形回路

5 分散の強い系
5.1 高調波の発生と分散効果
5.2 分散の強い系と非線形Schrodinger方程式
5.3 非線形Schrodinger方程式の包絡ソリトン
5.4 再び分散効果と非線形効果について
5.5 変調不安定
5.6 sine-Gordon方程式

Ⅱ編　ソリトンの理論

6 K-dV形の方程式
6.1 非線形格子の連続体近似（Ⅰ）―K-dV方程式
6.2 非線形格子の連続体近似（Ⅱ）―変形されたK-dV方程式
6.3 分散性と非線形性の釣合い
6.4 空間発展を記述するK-dV方程式
6.5 イオンプラズマ波（Ⅰ）―K-dV方程式
6.6 イオンプラズマ波（Ⅱ）―高次近似
6.7 イオンプラズマ波（Ⅲ）―2次元K-dV方程式
6.8 イオンプラズマ波（Ⅳ）―円筒K-dV方程式

7 非線形Schrodinger方程式
7.1 2次元の非線形性をもつ系
7.2 3次元の非線形性をもつ系
7.3 イオンプラズマ波の非線形Schrodinger方程式
7.4 漸近展開の方法

8 広田の方法
8.1 K-dV方程式
8.2 D-演算子の性質
8.3 2次元K-dV方程式
8.4 ソリトンの共鳴相互作用
8.5 変形されたK-dV方程式

9 逆散乱法
9.1 K-dV方程式とSchrodinger方程式
9.2 sech2xのポテンシャル
9.3 固有値の時間依存性
9.4 逆散乱法
9.5 ソリトン解

Ⅲ編　ソリトンの実験

10 非線形LCはしご回路
10.1 非線形キャパシタの特性
10.2 小振幅正弦波の伝播と分散式
10.3 小振幅パルスの伝播と分散
10.4 ソリトンの励起
10.5 2個のソリトンの衝突
10.6 ソリトンのエネルギー
10.7 弱い散逸を含む回路
10.8 不均一回路のソリトン
10.9 回路の不純物とソリトン
10.10 無衝突衝撃波とソリトン
10.11 正弦波によるソリトンの励起と初期波形への回帰
10.12 基本波と第2高調波の相互作用
10.13 相互インダクタンスのあるLCはしご形回路の孤立波
10.14 軌道不安定

付録1. 双曲線関数について
付録2. 流体の方程式について

参考文献（抜粋）
・戸田盛和『非線形波動とソリトン』
・ラム『ソリトン―理論と応用』
問題解答
索引

すうがくの風景

・群上の調和解析
・トーリック多様体入門―扇の代数幾何
・結び目と量子群
・パンルヴェ方程式―対称性からの入門
・Ｄ加群と計算数学
・特異点とルート系
・超幾何関数
・グレブナー基底

失敗の研究