コマの幾何学―可積分系講義
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uedam1984b 2021年04月14日(水) 16:27:05履歴
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コマの幾何学―可積分系講義
目次
謝辞
序章
1. 完全可積分系
1.1 Poisson構造とHamilton系
1.2 シンプレティック多様体上の完全可積分系
1.3 Poisson多様体上の可積分系についての注釈
1.4 諸例の一覧
2. Arnold-Liouvilleの定理
2.1 Arnold-Liouvilleの定理が語ること
2.2 Arnold-Liouvilleの定理が語らないこと
3. 方法序説
3.1 代数幾何学動物園
3.2 可積分系の場合
3.3 それにもかかわらずできること
3.4 もう一つのアプローチ
3.5 そしてもしもスペクトルパラメータがなければ？
4. この本について
4.1 この本で扱っていること
4.2 この本で扱わないこと
5. 記号
�機仝把蠹世鬚發長簑�
1. 方程式
1.1 微分方程式系
1.2 （余）随伴軌道と第一積分
2. 可積分性の問題
2.1 リスト
2.2 注釈
3. 自由剛体とEuler-Poinsotの例
3.1 自由剛体
3.2 代数的モデル
3.3 解の線形化
3.4 Euler-PoinsotのコマのLiouvilleトーラス
�供ー澗仂里淵灰�
1. 軸対称なコマ入門
1.1 γ3に対する微分方程式
1.2 シンプレクティック簡約とLiouvilleトーラス
1.3 Liouvilleトーラスについての注意
1.4 γ3の微分方程式の解
1.5 回転軸の運動
2. Lax対とその帰結
2.1 Lax方程式
2.2 スペクトル曲線
2.3 固有ベクトル写像
2.4 追加の注釈・結果
2.5 特異性
�掘�Kowalevskiのコマ
1. Kowalevskiの方法
1.1 代数的計算による若干の簡約化
1.2 Hの流れの線形化
2. Lax形式とスペクトル曲線
2.1 Lax対
2.2 スペクトル曲線と可積分性
2.3 固有ベクトル写像
2.4 位相幾何学
3. 一般化されたコマのLax対とその応用
3.1 コマのLax対
3.2 軸対称なコマ再論
3.3 好奇心―Goryachev-Chaplyginの例
�検ー�由剛体
1. Euler方程式とManakov方程式
1.1 Euler方程式
1.2 Manakov方程式
2. 3次元自由剛体
2.1 スペクトル曲線
2.2 固有ベクトル写像
3. 4次元剛体についての諸注意
3.1 シンプレクティック軌道と第1積分
3.2 スペクトル曲線
3.3 正則等位集合とモーメント写像の像
3.4 位相幾何学―もうひとつのアプローチ
�后．灰鵐僖�トでない等位集合―戸田格子
1. 微分方程式とスペクトル曲線
1.1 周期的戸田格子
1.2 スペクトル曲線と正則等位集合
1.3 ベルギー式座標変換
2. 固有ベクトル写像―n=2の場合
2.1 曲線と第1積分
2.2 固有ベクトル写像の性質
2.3 等位集合の位相幾何学
付録
付録1. Lie代数の双対空間上のPoisson構造
1.1 Lie代数とその双対空間
1.2 Ad, ad, Ad*, ad*など
1.3 余随伴軌道とそのシンプレクティック構造
1.4 Casimir関数と不変関数
1.5 g*とgの同一視
付録2. R-行列と「AKSの定理」
2.1 R-行列とSemenov-Tian-Shanskiの定式化
2.2 Adler-Kostant-Sysmesの定式化
2.3 例
2.4 無次元での設定
付録3. 固有ベクトル写像と流れの線形化
3.1 スペクトル曲線と固有ベクトル写像
3.2 接写像
3.3 流れの線形化
3.4 補遺
付録4. 複素曲線, 実曲線, およびそれらのJacobi多様体
4.1 複素曲線
4.2 Jacobi多様体とPicard群
4.3 実構造
4.4 実曲線のJacobi多様体
4.5 種数1の実曲線
付録5. Prym多様体
5.1 Prym多様体の定義
5.2 二つのPrym多様体の間の双対性
5.3 もしも種数2の曲線が実体化すれば
参考文献
索引
参考文献(抜粋)（可積分系の世界 ―戸田格子とその仲間―）
・戸田盛和『非線形格子力学』
・田中・伊達『KdV方程式』
・戸田盛和『非線形波動とソリトン』
・神保道夫『量子群とヤン・バクスター方程式』
・M.J.アブロビッツ・H.シーガー『ソリトンと逆散乱変換』
・広田良吾『直接法によるソリトンの数理』
・和達三樹『非線形波動』
・三輪et al.『ソリトンの数理』
・大貫・吉田『力学』
・戸田盛和『波動と非線形問題30講』
・神保道夫『ホロノミック量子場』
・M.Audin『コマの幾何学』
・中村編『可積分系の応用数理』
・野海正俊『パンルヴェ方程式』
索引
関連書籍
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コマの幾何学―可積分系講義 
目次
謝辞
序章
1. 完全可積分系
1.1 Poisson構造とHamilton系
1.2 シンプレティック多様体上の完全可積分系
1.3 Poisson多様体上の可積分系についての注釈
1.4 諸例の一覧
2. Arnold-Liouvilleの定理
2.1 Arnold-Liouvilleの定理が語ること
2.2 Arnold-Liouvilleの定理が語らないこと
3. 方法序説
3.1 代数幾何学動物園
3.2 可積分系の場合
3.3 それにもかかわらずできること
3.4 もう一つのアプローチ
3.5 そしてもしもスペクトルパラメータがなければ？
4. この本について
4.1 この本で扱っていること
4.2 この本で扱わないこと
5. 記号
�機仝把蠹世鬚發長簑�
1. 方程式
1.1 微分方程式系
1.2 （余）随伴軌道と第一積分
2. 可積分性の問題
2.1 リスト
2.2 注釈
3. 自由剛体とEuler-Poinsotの例
3.1 自由剛体
3.2 代数的モデル
3.3 解の線形化
3.4 Euler-PoinsotのコマのLiouvilleトーラス
�供ー澗仂里淵灰�
1. 軸対称なコマ入門
1.1 γ3に対する微分方程式
1.2 シンプレクティック簡約とLiouvilleトーラス
1.3 Liouvilleトーラスについての注意
1.4 γ3の微分方程式の解
1.5 回転軸の運動
2. Lax対とその帰結
2.1 Lax方程式
2.2 スペクトル曲線
2.3 固有ベクトル写像
2.4 追加の注釈・結果
2.5 特異性
�掘�Kowalevskiのコマ
1. Kowalevskiの方法
1.1 代数的計算による若干の簡約化
1.2 Hの流れの線形化
2. Lax形式とスペクトル曲線
2.1 Lax対
2.2 スペクトル曲線と可積分性
2.3 固有ベクトル写像
2.4 位相幾何学
3. 一般化されたコマのLax対とその応用
3.1 コマのLax対
3.2 軸対称なコマ再論
3.3 好奇心―Goryachev-Chaplyginの例
�検ー�由剛体
1. Euler方程式とManakov方程式
1.1 Euler方程式
1.2 Manakov方程式
2. 3次元自由剛体
2.1 スペクトル曲線
2.2 固有ベクトル写像
3. 4次元剛体についての諸注意
3.1 シンプレクティック軌道と第1積分
3.2 スペクトル曲線
3.3 正則等位集合とモーメント写像の像
3.4 位相幾何学―もうひとつのアプローチ
�后．灰鵐僖�トでない等位集合―戸田格子
1. 微分方程式とスペクトル曲線
1.1 周期的戸田格子
1.2 スペクトル曲線と正則等位集合
1.3 ベルギー式座標変換
2. 固有ベクトル写像―n=2の場合
2.1 曲線と第1積分
2.2 固有ベクトル写像の性質
2.3 等位集合の位相幾何学
付録
付録1. Lie代数の双対空間上のPoisson構造
1.1 Lie代数とその双対空間
1.2 Ad, ad, Ad*, ad*など
1.3 余随伴軌道とそのシンプレクティック構造
1.4 Casimir関数と不変関数
1.5 g*とgの同一視
付録2. R-行列と「AKSの定理」
2.1 R-行列とSemenov-Tian-Shanskiの定式化
2.2 Adler-Kostant-Sysmesの定式化
2.3 例
2.4 無次元での設定
付録3. 固有ベクトル写像と流れの線形化
3.1 スペクトル曲線と固有ベクトル写像
3.2 接写像
3.3 流れの線形化
3.4 補遺
付録4. 複素曲線, 実曲線, およびそれらのJacobi多様体
4.1 複素曲線
4.2 Jacobi多様体とPicard群
4.3 実構造
4.4 実曲線のJacobi多様体
4.5 種数1の実曲線
付録5. Prym多様体
5.1 Prym多様体の定義
5.2 二つのPrym多様体の間の双対性
5.3 もしも種数2の曲線が実体化すれば
参考文献
索引
参考文献(抜粋)（可積分系の世界 ―戸田格子とその仲間―）
・戸田盛和『非線形格子力学』
・田中・伊達『KdV方程式』
・戸田盛和『非線形波動とソリトン』
・神保道夫『量子群とヤン・バクスター方程式』
・M.J.アブロビッツ・H.シーガー『ソリトンと逆散乱変換』
・広田良吾『直接法によるソリトンの数理』
・和達三樹『非線形波動』
・三輪et al.『ソリトンの数理』
・大貫・吉田『力学』
・戸田盛和『波動と非線形問題30講』
・神保道夫『ホロノミック量子場』
・M.Audin『コマの幾何学』
・中村編『可積分系の応用数理』
・野海正俊『パンルヴェ方程式』
索引
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