失敗の研究

目次

前書き

第1章　戸田格子
1. Hamilton形式と運動方程式
1.1 両無限格子の場合
1.2 さまざまな境界条件
2. τ関数と双線形化
2.1 半無限格子の場合
2.2 非周期的有限格子の場合
2.3 両無限格子と周期的有限格子の場合
3. Lax形式
3.1 両無限格子の場合
3.2 半無限格子の場合
3.3 非周期的有限格子の場合
3.4 周期的有限格子の場合
4. 等スペクトル変形と保存量
4.1 非周期的有限格子の場合
4.2 周期的有限格子の場合
4.3 無限格子の場合
5. QR分解による非周期的有限格子の解法
5.1 QR分解によるLax方程式の解法
5.2 τ関数の行列式表示
5.3 二つの行列式表示の関係
5.4 高次の時間発展

第2章　戸田場の方程式
1. 戸田場の方程式
1.1 力学系から2次元場の理論へ
1.2 さまざまな格子の形状
2. τ関数と双線形化
2.1 半無限格子の場合
2.2 非周期的有限格子の場合
2.3 両無限格子と周期的有限格子の場合
3. 零曲率方程式のLax形式
3.1 両無限格子の場合のLax形式
3.2 その他の格子の場合
4. Wronski行列式解
4.1 広田形式に基づく解の構成
4.2 Lax形式に基づく解の構成
4.3 特殊化
4.4 高次の時間発展

第3章　方程式から見た戸田階層
1. 無限行列と差分作用素に関する準備
1.1 無限行列の記法
1.2 差分作用素との対応
1.3 正部分と負部分
1.4 差分作用素の次数型
1.5 差分作用素の可逆性
2. Lax形式
2.1 Lax作用素
2.2 Lax方程式系
2.3 零曲率方程式系
2.4 Lax方程式系と零曲率方程式の同値性の証明
3. 佐藤-Wilson形式
3.1 佐藤-Wilson作用素
3.2 波動関数と線形方程式
3.3 佐藤-Wilson作用素の満たす閉じた方程式系
4. 波動関数に対する双線形方程式
4.1 行列積と周回積分
4.2 双線形方程式の導出
4.3 KP階層との関係
5. τ関数
5.1 τ関数の定義方程式系
5.2 τ関数の定義方程式の可積分性
5.3 波動関数の満たす双線形方程式からの帰結
5.4 (5.11)-(5.13)の導出
5.5 (5.6)と(5.14)の導出
6. τ関数に対する双線形方程式
6.1 τ関数に対する周回積分型双線形方程式
6.2 広田型双線形方程式
6.3 KP階層との関係
6.4 離散的戸田場の方程式
7. 簡約系
7.1 周期的簡約
7.2 戸田格子への簡約
7.3 その他の簡約

第4章　解から見た戸田階層
1. 半無限格子上の戸田階層
1.1 半無限行列についての注意
1.2 Lax形式
1.3 佐藤-Wilson形式
1.4 W, W-を特徴付ける方程式
1.5 τ関数
2. Gauss分解による初期値問題の解法
2.1 初期値問題とGauss分解
2.2 Gauss分解の行列式表示
2.3 τ関数の行列式表示
2.4 τ関数のSchur関数展開
3. 両無限格子への極限移行
3.1 半無限格子による近似列の構成
3.2 Schur関数展開の係数の性質
3.3 両無限格子への極限移行
3.4 極限移行に対するもう一つの見方
3.5 両無限格子のτ関数
4. 半無限格子上のフェルミオン表示
4.1 フェルミオンFock空間
4.2 フェルミオン演算子のFock表現
4.3 フェルミオン演算子の双線形形式
4.4 Clifford演算子の行列要素
4.5 τ関数の真空期待値表示
5. 両無限格子上のフェルミオン表示
5.1 フェルミオンFock空間
5.2 フェルミオン演算子のFock表現
5.3 演算子の正規積・正規順序
5.4 フェルミオン演算子の双線形形式
5.5 Clifford演算子の行列要素
5.6 τ関数の真空期待値表示

第5章　Calogero系
1. Hamilton形式
1.1 Calogero系のHamiltonian
1.2 異なる型のCalogero系の間の極限移行
1.3 戸田格子への極限移行
2. Lax形式
2.1 スペクトルパラメータを含まないLax表示
2.2 スペクトルパラメータを含むLax表示
3. Calogero系に対する射影法
3.1 有理型alogero系に対する射影法
3.2 射影法から見たLax対の起源
3.3 高次時間発展の構成
3.4 射影法の幾何学的解釈
3.5 双曲型Calogero系に対する射影法
4. ソリトン方程式との関係
4.1 ソリトン方程式の極の運動とCalogero型力学系
4.2 有理型Calogero系とKP階層

第6章　その他の話題
1. KP階層
1.1 Lax形式と佐藤-Wilson形式
1.2 波動関数と双線形方程式
1.3 τ関数
1.4 KP階層の解
2. 無分散極限
2.1 ソリトン方程式の無分散極限
2.2 無分散KP階層
2.3 拡張されたLax形式
2.4 無分散戸田階層
3. Ruijsenaars系
3.1 Ruijsenaars-Schneider系
3.2 Ruijsenaars-Schneider系のLax形式
3.3 Ruijsenaars-戸田系
4. r-行列の方法
4.1 L-行列とr-行列
4.2 Lax表示と包含性に関する定理
4.3 定理の証明
4.4 定理の適用例
4.5 スペクトルパラメータを含む場合

付録
1. 行列式の諸公式
2. Schur関数
3. Frobeniusの定理
4. Hamilton系
5. 楕円関数

参考文献(抜粋)
・戸田盛和『非線形格子力学』
・田中・伊達『KdV方程式』
・戸田盛和『非線形波動とソリトン』
・神保道夫『量子群とヤン・バクスター方程式』
・M.J.アブロビッツ・H.シーガー『ソリトンと逆散乱変換』
・広田良吾『直接法によるソリトンの数理』
・和達三樹『非線形波動』
・三輪et al.『ソリトンの数理』
・大貫・吉田『力学』
・戸田盛和『波動と非線形問題30講』
・神保道夫『ホロノミック量子場』
・M.Audin『コマの幾何学』
・中村編『可積分系の応用数理』
・野海正俊『パンルヴェ方程式』

索引

• 入門者のExcel VBA―初めての人にベストな学び方 (ブルーバックス)
• 脱入門者のExcel VBA 自力でプログラミングする極意を学ぶ (ブルーバックス)
• 理系のためのExcelグラフ入門 (ブルーバックス)
• 『微分方程式で数学モデルを作ろう』
• 「Excel で試す非線形力学」
• 社会現象の計算機実験―MathematicaとExcelを使って
• Excelコンピュータシミュレーション - 数学モデルを作って楽しく学ぼう
• Excelで学ぶセルオートマトン
• Excelで操る! ここまでできる科学技術計算 第2版
• 山内_一般力学
• 振動論 (新物理学シリーズ 3)
• 非線形力学 (共立物理学講座 6)
• 楕円関数入門 (日評数学選書)
• 一般力学30講 (物理学30講シリーズ)
• 波動と非線形問題30講 (物理学30講シリーズ)
• 非線形格子力学
• ライフゲイムの宇宙
• パーコレーションの基本原理 (物理学叢書)
• 波動 (バークレー物理学コース)
• 非線形波動とソリトン
• 可積分系の世界 ―戸田格子とその仲間―
• コマの幾何学―可積分系講義
• 直接法によるソリトンの数理