失敗の研究

目次

1.　線形力学系の振る舞いの特徴
1.1　線形力学系と非線形力学系
1.2　線形系の特徴
　1.2.1　重ね合わせの原理が成立する
問1.1
　1.2.2　解の定性的な挙動は初期値によらない
1.3　線形力学系の数値解を求めてみよう
　1.3.1　マルサスの人口増加の法則の場合
　1.3.2　単振動の場合
問1.2

2.　飽和，爆発と単調減少
2.1　ロジスティック方程式-より本当らしい人口増加の方程式-
　2.1.1　実際の人口増加の例
　2.1.2　ロジスティック方程式の数値解
　2.1.3　ロジスティック方程式の解析解
　2.1.4　初期値が大きい場合の数値解と解析解
問2.1

2.2　化学反応
　2.2.1　方程式と数値解
　2.2.2　解析解

3.　生物の個体数の変化を表す方程式
3.1　ロトカ・ボルテラ方程式-餌と捕食者の方程式-
　3.1.1　ロトカ・ボルテラ方程式
　3.1.2　定常解およびずれが小さい場合の解析解
　3.1.3　数値解
3.2　生存競争の方程式
　3.2.1　定常解および相空間での解の軌道
　3.2.2　数値解
　3.2.3　相空間での解の軌道
問3.1

3.3　素数ゼミの謎をモデル化する
　3.3.1　素数ゼミの謎について
　3.3.2　セミの個体数変化のモデル化
問3.2

4.　伝染病の流行のダイナミクス
4.1　3変数モデル
　4.1.1　3変数によるモデル化
　4.1.2　数値解
　4.1.3　モデルの成功と限界
問4.1
問4.2

4.2　4変数モデル
　4.2.1　4変数によるモデル化
　4.2.2　数値解
問4.3

5.　単振り子の周期を調べる
5.1　第1次近似解
5.2　高次の近似解
5.3　数値解
5.4　厳密解
5.5　振り子の周期の比較
問5.1

6.　振幅が一定値になる振動
6.1　自励振動と負抵抗
6.2　ファンデルポール方程式
　6.2.1　εが小さい場合の数値解
　6.2.2　εが大きい場合の数値解
問6.1

6.3　ニューロンの発火とフィッツヒュー・南雲方程式
　6.3.1　フィッツヒュー・南雲方程式
　6.3.2　数値解
問6.2

7.　同期と周波数引き込み
7.1　同期の例
7.2　周波数の強制引き込み
　7.2.1　線形のモデル方程式に対する強制振動の影響
　7.2.2　非線形のモデル方程式に対する強制振動の影響
問7.1

8.　カオス
8.1　カオスの概念
　8.1.1　カオスとは
　8.1.2　ロジスティック差分式
　8.1.3　ロジスティック差分式の数値解
問8.1

8.2　カオスがつくられるしくみ
　8.2.1　パイこね変換
　8.2.2　リャプノフ指数
　8.2.3　再びロジスティック差分式による写像を考える
問8.2

8.3　連続系のカオス
　8.3.1　カオスが出現するには何次元の相空間が必要か
　8.3.2　ローレンツ方程式
　8.3.3　ローレンツ方程式のカオス解の場合のリャプノフ指数
　8.3.4　ローレンツプロット

9.　パーコレーションとフラクタル
9.1　パーコレーションとは
9.2　金属の蒸着による抵抗網の形成
問9.1

9.3　臨界状態でのクラスターサイズの分布
9.4　フラクタル
　9.4.1　フラクタルとは
　9.4.2　人工的なフラクタル図形
　9.4.3　フラクタル次元
問9.2

　9.4.4　フラクタルとべき乗分布
9.5　べき乗則の成立にとって必要な条件は何か
　9.5.1　クラスターの凝集
　9.5.2　ネットワークのべき乗則
　9.5.3　地震のべき乗則

引用・参考文献

1. デヴィッド・バージェス、モラグ・ボリー：微分方程式で数学モデルを作ろう, 日本評論社(1990)
2. 吉川研一：非線形科学, 学会出版センター(1990)
3. D. A. McLuulich: Fluctuations in the Numbers of varying Hare, University of Toronto Press(1973)
4. 高木隆司：物理学, 海遊舎(1992)
5. 吉村仁：素数ゼミの謎, 文藝春秋(2005)
6. 重定南奈子：侵入と伝播の数理生態学, 東京大学出版会, pp100-114 (1992)
7. R. M. Anderson and R. M. May: Phil. Trans..R. Soc. Lond., B314, p540 Fig.4 (1986)
8. 戸田盛和：振動論, 培風館 (1968)
9. 数学ハンドブック編集委員会：理工学のための数学ハンドブック, 丸善 (1960)
10. 金丸隆志氏のウェブページ：カオス＆非線形力学入門
11. スティーブン・ストロガッツ：SYNC, 早川書房 (2005)
12. 伊東敬祐：カオスって何だろう, ダイヤモンド社 (1993)
13. 山口昌哉：カオスとフラクタル, 講談社 (1986)
14. 沢田康次：非平衡系の秩序と乱れ, 朝倉書店 (1993)
    
15. P.ベルジェ, Y.ポモウ, Ch.ビダル：カオスの中の秩序, 産業図書 (1992)
16. 小田垣孝：パーコレーションの科学, 裳華房 (1993)
17. A. Malgolina, H. Nakanishi, D. Stauffer and H. E. Stanley: J. Phys. A17, 1683 (1984)
18. 高安秀樹, 高安美佐子：フラクタルって何だろう, ダイヤモンド社 (1988)
19. 高安秀樹：フラクタル, 朝倉書店 (1986)
20. 松下貢：フラクタルの物理(1), 裳華房 (2002)
21. 水谷仁：クレーターの科学, 東京大学出版会 (1980)
22. 増田直紀, 今野紀雄：複雑ネットワークとは何か, 講談社(2006)
23. 香取眞理：複雑系を解く確率モデル, 講談社 (1997)
24. 太田隆夫：非平衡系の物理学, 裳華房 (2000)
25. 宇津徳治：地震学（第3版）, 共立出版 (2001)
26. 川崎一郎：スロー地震とは何か, NHK出版 (2006)

問題の解答
索引

• 素数はなぜ人を惹きつけるのか (朝日新書)
• 素数入門―計算しながら理解できる (ブルーバックス)
• 入門者のExcel VBA―初めての人にベストな学び方 (ブルーバックス)
• 脱入門者のExcel VBA 自力でプログラミングする極意を学ぶ (ブルーバックス)
• 理系のためのExcelグラフ入門 (ブルーバックス)
• 『微分方程式で数学モデルを作ろう』
• 「Excel で試す非線形力学」
• 社会現象の計算機実験―MathematicaとExcelを使って
• Excelコンピュータシミュレーション - 数学モデルを作って楽しく学ぼう
• Excelによる振動系のダイナミクス
• カオス入門―現象の解析と数理
• 同期理論の基礎と応用 数理科学、化学、生命科学から工学まで