後で書く

離散信号処理編集する

最終更新：ID:cplo92WR6Q 2015年06月25日(木) 10:37:29履歴

この講義では線形システム, 伝達関数, フーリエ/ラプラス変換, インパルス応答, 状態方程式などを前提としてる感じです
ココらへんは マジックアイテム(数学関連) とかにまとめたほうがいいかも
余力のある人やってみてくれると嬉しいです

後,例によって例の如く,講義資料は完結型の情報源ではない(?!)ので,適宜補足,追加,再編集を行うかもしれません

上記の明文,別に講義にケチつけてるわけではなく,単純に,資料が資料のみを読んで理解できるものではないと言っているだけです.念の為





-



概要

講義の前半では、線形時不変状態方程式として記述される動的システムの概念、基礎的性質、およびその離散化など、離散信号を扱う上で必要な基礎理論を学ぶ。
後半では、離散フーリエ変換やディジタルフィルタなどの発展的な信号処理・解析法およびシステム設計法を学ぶ。
以上 シラバスより.

結論, 前半では z変換ができればよくて,後半,応用といった感じでしょうか?

講義予定

  • 2015 年度
  1. [6/10]: イントロダクション（線形性，時不変性，因果性，安定性，伝達関数）
  2. [6/15]: システムの数学的記述と非線形システムの線形化
  3. [6/17]: 線形代数方程式（相似変換，固有値，特性多項式）
  4. [6/22]: 線形時不変状態方程式の解法と実現
  5. [6/24]: 離散時間信号とシステム
  6. [6/29]: ｚ変換１（数列，z変換）
  7. [7/1]: ｚ変換２（逆ｚ変換，ｚ変換の性質）
  8. [7/6]: 前半のまとめ及び中間試験
  9. [7/8]: 離散フーリエ級数（DFS）
  10. [7/13]: 離散フーリエ変換（DFT）
  11. [7/15]: 高速フーリエ変換（FFT）
  12. [7/22]: ディジタルフィルタの基礎：FIR/IIRフィルタ
  13. [7/27]: ディジタルフィルタの設計と応用（s-z変換，双一次変換，Butterworth/Chebyshev特性）
  14. [7/29]: 準同型処理（ケプストラム，システムと逆システム）
  15. [8/3]: 後半のまとめ及び期末試験

講義計画


講義は、未修者が新しい知識を得るために開かれるものです。

なので、内容を知らない人のペースに合わせて進めます。

また、既修者が受講することは勧めません。

  • 課題提出は全部で4回です。
    • 翌週の講義の最初の時限開始時に集めます。
    • 出席できない人はメール添付で送って下さい。
  • 中間・期末試験はそれぞれ一度しか実施しませんので、必ず全員同じ日時に受験してください。
  • 6/29(月): オフィスアワーに演習
  • 7/6(月): 一限に中間テスト
最終成績の計算
  • 試験の成績（中間・期末40%ずつ）と課題提出（合計4回・20%）
  • 救済措置などはありませんので、相談には応じかねます

とのこと.

-

第一章:イントロダクション

イントロダクションというか,前提知識の確認です.
具体的には,線形性，時不変性，因果性，安定性，伝達関数 と言われてピンとくる場合,ここは不要なのでしょう.

線形システム

ここではまず, ここでの議論の対象になるシステムに関して,限定をかけ,
そのシステムの特徴を説明していきます.
ここで扱うシステムは一般に 線形システム と呼ばれるシステムです.

とりあえず,問題を単純化するために,線形システムのうちでも 1次系 のシステムのみを考えていきます.
1次系とは, 1階線形微分方程式で記述できる という意味だと思ってください.

一般形として, 1次系の線形システムは以下の数式で記述されます.



ここで, t はある時刻.
は t に対する状態, は t の時の制御入力です.

上記の式は以下の図のようなシステムを示しています.



さて, まあ,上記のようなシステムを考えたとき,重要になる性質は以下の通りです.
  • 線形性: システムが線形か否か.ここで扱うのは線形システムなので,あるシステムがここでの議論の対象になりうるかどうかは大事.
    • 入力信号 と出力信号 について,
      のとき
      任意の定数 として が成り立つ.
    • 要は,それぞれの入力信号に,先に定数をかけて,出力を計算しても, 入力信号を先に出力信号に変えて定数をかけても値は変わらない場合, 線形性 があるといいます.
  • 時不変性: システムの出力が時間に明示的に依存していない系であるか否か.
    • であるとき,任意の定数 について

      が成り立つ
    • 要は時間が経っても、同じ入力信号に対して同じ出力が得られる場合時不変性 があるシステムです.。
  • 安定性: 発散しないか否か.
    • システムのインパルス応答が 絶対積分可能
      • 上記式が成り立つ場合,システムは BIBO安定性を有する
      • 要は, 有限な入力を与えられたとき、常に有限な出力になる
  • 因果性: 未来における入力値が必要か否か.
    • 入力が実際に起動されるまで応答しないシステムは因果的(causal)

1次系の時間応答と安定性

一次系の時間応答と安定性を考える際には,重要になる零状態応答が2つあります.
  • 単位ステップ応答
  • 単位インパルス応答

ここでは,まずは片方ずつ特性を確認していき,最後にこの2つを比較します.
単位ステップ応答
線形時不変システムの零状態応答
畳み込み積分
状態方程式の解
単位インパルス信号
零入力応答
単位ステップ応答
比較

畳み込み積分の証明

制御入力の離散化
離散化された入力信号に対する応答（出力）
基準入力信号とその応答
一般の短冊入力に対する応答
短冊の足し合わせ

伝達関数【周波数領域】

ラプラス変換（定義）
収束領域（Region of convergence: ROC）

第二章: システムの数学的記述と非線形システムの線形化

伝達関数【周波数領域】

畳み込み積分のラプラス変換
インパルス信号のラプラス変換
時間領域と周波数領域の関係
線形システム
伝達関数
証明
ブロック線図

線形システムのモデリング

質量‐ばね‐ダンパー系
3次系の例
n次系
RLC回路系��
RLC回路系��

微分方程式の解法

逆ラプラス変換による解法
指数関数行列
性質
次の微分方程式の解を求めてみよう

1入力1出力LTIシステムの伝達関数

具体例

第三章: 線形代数方程式（相似変換，固有値，特性多項式）

第四章


行列の対角化
\{\lambda_1, \lambda_2, ..., \lambda_n\}
がすべて異なるとき，
\{\x_1, \x_2, ..., \x_n\}
がすべて互いに線形独立だったとき，
d_1 x_1 + d_2 x_2 + ... + d_0 x_0 を満たす \alpha_i \not = 0 は存在しない．

証明は背理法．

後で頑張る．

第五章: システムの離散化

  • 離散時間制御系：微分方程式で書かれたものではなく，差分方程式で書かれたもの

現実世界は基本，連続だが，コンピューター上では離散系になる．
そのため，階段状で近似を行う．

\dot x = A_c x B_c u
\frac{d}{dt}(e^{-A_c^t} x(t)) &=& - A_t e ^{-A_c t} + e^{-A_ct} \dot x(t) \\
&=& e^{-A_ct}(\dot x(t) - A_c x(t)) = E^{-A_ct} B_cu(t)

数値的に A, B を知りたい場合，

A & B \\ 0 & I = exp A_c & B_c \\ 0 & 0

A_c & B_c \\ 0 & 0 * A_c & B_c \\ 0 & 0 = A_c^2 & A_cB_c \\ 0 & 0
A_c & B_c \\ 0 & 0 * {A_c}^2 & A_c B_c \\ 0 & 0 = A_c^3 & {A_c}^2 B_c \\ 0 & 0
よって，
A_c & B_c \\ 0 & 0 ^n = A_c^2 & A_cB_c \\ 0 & 0
= A_c^n & A_c^{n-1} B_c \\ 0 & 0

例題

例題1

問1: 連続時間 LTI システムのインパルス応答が で与えられるとき,次の問いに答えよ.
  • 1.1: 単位ステップ入力 に対する出力 を次式に従って求めよ．


  • 1.2: , のラプラス変換 , を求めよ
  • 1.3: のラプラス変換を 1.1 の結果を利用して求めよ．
  • 1.4: 1.3 の結果が に一致することを確認せよ.

解答

例題2

問1 以下の行列を考える

  • 1.1: 特性方程式を利用して, A の 固有値 を求めよ.
  • 1.2: 上で求めた固有値に対応する 固有ベクトル を求めよ.
  • 1.3: A を 対角化 せよ.
  • 1.4: 1.3 の結果を利用し, を求めよ
問2 上の行列 A について, Cayley-Hamilton の定理 を利用して, を求めよ

解答?

例題3

問1 で定義された次の原関数のラプラス変換をもとめよ.
  • 1.1:
  • 1.2:
問2 Figure 1 に示す駆動力付き単振子の運動方程式は で表される.


  • 2.1: 運動方程式を の周りで線形化せよ
  • 2.2: 上の結果を利用し状態空間表現 を求めよ.
    • ただし,状態ベクトルを , とせよ.
  • 2.3: 逆ラプラス変換を利用して を求めよ
  • 2.4: のときの (零入力応答)を求めよ.
    • ただし,初期状態は とせよ.

解答?

例題4

問1. 次の連続時間 LTI システムを考える．




  • 1.1: このシステムの 内部安定性 を調べよ．
  • 1.2: 入力 から 出力 への 伝達関数 を求めよ
  • 1.3: として相似変換 を行った 状態空間表現 を求めよ
  • 1.4: 1.3 のシステムの入力 から 出力 への 伝達関数 を求めよ

解答
このエントリーをTumblrにポストClip to Evernoteこのエントリーをはてなブックマークに追加
離散信号処理 - JAIST 攻略 WIKI 先頭へ

コメントをかく


「http://」を含む投稿は禁止されています。

利用規約をご確認のうえご記入下さい
 

どなたでも編集できます