位相への30講 (数学30講シリーズ)
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uedam1984b 2021年05月27日(木) 18:23:10履歴
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位相への30講 (数学30講シリーズ)
目次
はしがき
第1講 遠さ, 近さと数直線
近さとは
数直線
数直線と2つのものの位相関係
絶対値
2点間の距離
Tea Time：
第2講 平面上の距離, 点列の収束
座標平面
2点間の距離
点列の収束
近傍
点列の収束と近傍
Tea Time：札幌の街角で
第3講 開集合, 閉集合
円と円の内部
開集合, 閉集合の定義
開集合の基本的な性質
(O1), (O2)の証明
閉集合の基本的な性質
Tea Time：開集合の補集合は閉集合, 閉集合の補集合は開集合
第4講 集積点と実数の連続性
集積点
開集合の境界点の存在
実数の連続性
連続性からの2つの帰結
開集合の境界点の存在と実数の連続性
Tea Time：有理数の集合も, 無理数の集合も連続性の性質をもたない。
第5講 コンパクト性
数直線上の有界な閉集合
平面上の有界な閉集合
コンパクト性
Tea Time：
第6講 写像と集合演算
実数, または座標平面上で定義された関数と写像
集合から集合への写像
部分集合の演算と写像との関係
集合列の演算と写像との関係
集合族の演算と写像との関係
Tea Time：写像φ：X→Yが与えられている時, E⊂Yの補集合Ecは, φ-1で, φ-1(E)の補集合φ-1(E)cへ移る.
第7講 連続性
つながっているグラフ
関数の1点における連続性
関数の連続性
写像の連続性
連続写像とコンパクト集合
Tea Time：コンパクト集合M上で定義された連続関数は, 有界であって, 最大値, 最小値をとる.
第8講 連続性と開集合
連続性と近傍
近傍による連続性の表現
数直線上の実数値関数
連続性と開集合
連続性と閉集合
開集合の連続写像による像は一般に開集合でない
Tea Time：
第9講 部分集合における近さと連結集合
部分集合の上に限って考える
部分集合における近傍の概念
Mにおける開集合, 閉集合
連結な集合
数直線上の連結な集合
連続写像と連結性
Tea Time：中間値の定理について
第10講 距離空間へ
距離の空間
一般的な観点に向けて
集合の上に与えられた距離
距離空間
収束と三角不等式
Tea Time：
第11講 距離空間の例
ε-近傍
n次元ユークリッド空間Rn
距離となること
開球
いろいろな距離
どの距離をとっても点列の収束性は変わらない
Tea Time：高次元になると起きる1つの奇妙な現象
第12講 距離空間の例（つづき）
無限次元の空間R∞
連続関数のつくる空間C[0,1]
積分によって定義される距離
Tea Time：'近さ'とか'近づく'感じが全く違う2つの距離
第13講 点列の収束, 開集合, 閉集合
点列の収束の具体例
Rnのとき
R∞のとき
C[0,1]のとき
距離空間における開集合, 閉集合
開集合, 閉集合の基本的な性質
Tea Time：
第14講 近傍と閉包
開近傍
近傍
部分集合の近傍
閉包
閉包の性質
Tea Time：近傍と閉包の関係
第15講 連続写像
2つの距離空間
連続写像
連続性と閉包
連続性と開集合
連続性と閉集合
連続性と近傍
Tea Time：
第16講 同相写像
逆写像
同相写像
同相写像で保たれるもの
位相
Tea Time：距離空間(X,d)では, 位相を変えずに, 2点間の距離がつねに1以下であるような新しい距離を導入できる.
第17講 コンパクトな距離空間
コンパクト空間の定義
コンパクト空間と連続写像
部分空間
開被覆
有限被覆性
コンパクト性と有限被覆性
Tea Time：有限被覆性と有限交叉性
第18講 連結空間
連結性
連続写像と連結性
連結空間の性質
連結成分
弧状連結
Tea Time：連結成分が1点からなる空間
第19講 コーシー列と完備性
互いに近づき合う点列
コーシー列
コーシー列の定義の検討
距離によって与えられる近さの一様性
同相写像と近さの一様性
コーシー列と同相写像
完備な距離空間
Tea Time：
第20講 完備な距離空間
完備な距離空間の例
コンパクト空間の完備性
ベールの定理
ベールの定理の証明
Tea Time：C~[0,1]は完備ではない.
第21講 ベールの性質の応用
ベールの性質の言い換え
各点で微分不可能な連続関数
バナッハの証明
Tea Time：
第22講 完備化
有理数のコーシー列
完備化
コーシー列と完備化
共通な極限へ近づくコーシー列
完備化の概略
Tea Time：
第23講 距離空間から位相空間へ
距離で測れない近さ
可算性
直積空間
距離空間から位相空間へ
Tea Time：高速道路をゆっくり走る自動車
第24講 位相空間
位相空間の登場
近傍
閉集合
閉包
Tea Time：距離空間も, 前講で与えた空間もすべて位相空間である.
第25講 位相空間上の連続写像
連続写像
同相写像
位相的な性質
位相の強弱
Tea Time：ブルバキと構造
第26講 位相空間の構成
部分集合と位相
集合列と位相
集合族と位相
1つの注意
有限個の積空間
Tea Time：最弱位相であることの要請について
第27講 コンパクト空間と連結空間
定義
コンパクトの定義に対する注意
可算被覆性
コンパクト空間と連結空間の連続写像による像
コンパクト空間の閉集合
Tea Time：連結空間の応用例
第28講 分離公理
位相の条件を強める
分離公理
T1空間
T2空間
コンパクトなT2空間
コンパクトなT2空間と連続写像
T3空間
T4空間
Tea Time：
第29講 ウリゾーンの定理
問題の誕生
問題の解決―ウリゾーンの登場
ウリゾーンの定理
(T4)条件の検討
ウリゾーンの定理の証明
Tea Time：
第30講 位相空間から距離空間へ
抽象化の方向と距離空間
距離付け可能問題
ウリゾーンの解決
可算基をもつ空間
定理の証明（概略）
Tea Time：
問題の解答
索引
数学30講（朝倉書店）
すうがくの風景（朝倉書店）
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位相への30講 (数学30講シリーズ) 
目次
はしがき
第1講 遠さ, 近さと数直線
近さとは
数直線
数直線と2つのものの位相関係
絶対値
2点間の距離
Tea Time：
第2講 平面上の距離, 点列の収束
座標平面
2点間の距離
点列の収束
近傍
点列の収束と近傍
Tea Time：札幌の街角で
第3講 開集合, 閉集合
円と円の内部
開集合, 閉集合の定義
開集合の基本的な性質
(O1), (O2)の証明
閉集合の基本的な性質
Tea Time：開集合の補集合は閉集合, 閉集合の補集合は開集合
第4講 集積点と実数の連続性
集積点
開集合の境界点の存在
実数の連続性
連続性からの2つの帰結
開集合の境界点の存在と実数の連続性
Tea Time：有理数の集合も, 無理数の集合も連続性の性質をもたない。
第5講 コンパクト性
数直線上の有界な閉集合
平面上の有界な閉集合
コンパクト性
Tea Time：
第6講 写像と集合演算
実数, または座標平面上で定義された関数と写像
集合から集合への写像
部分集合の演算と写像との関係
集合列の演算と写像との関係
集合族の演算と写像との関係
Tea Time：写像φ：X→Yが与えられている時, E⊂Yの補集合Ecは, φ-1で, φ-1(E)の補集合φ-1(E)cへ移る.
第7講 連続性
つながっているグラフ
関数の1点における連続性
関数の連続性
写像の連続性
連続写像とコンパクト集合
Tea Time：コンパクト集合M上で定義された連続関数は, 有界であって, 最大値, 最小値をとる.
第8講 連続性と開集合
連続性と近傍
近傍による連続性の表現
数直線上の実数値関数
連続性と開集合
連続性と閉集合
開集合の連続写像による像は一般に開集合でない
Tea Time：
第9講 部分集合における近さと連結集合
部分集合の上に限って考える
部分集合における近傍の概念
Mにおける開集合, 閉集合
連結な集合
数直線上の連結な集合
連続写像と連結性
Tea Time：中間値の定理について
第10講 距離空間へ
距離の空間
一般的な観点に向けて
集合の上に与えられた距離
距離空間
収束と三角不等式
Tea Time：
第11講 距離空間の例
ε-近傍
n次元ユークリッド空間Rn
距離となること
開球
いろいろな距離
どの距離をとっても点列の収束性は変わらない
Tea Time：高次元になると起きる1つの奇妙な現象
第12講 距離空間の例（つづき）
無限次元の空間R∞
連続関数のつくる空間C[0,1]
積分によって定義される距離
Tea Time：'近さ'とか'近づく'感じが全く違う2つの距離
第13講 点列の収束, 開集合, 閉集合
点列の収束の具体例
Rnのとき
R∞のとき
C[0,1]のとき
距離空間における開集合, 閉集合
開集合, 閉集合の基本的な性質
Tea Time：
第14講 近傍と閉包
開近傍
近傍
部分集合の近傍
閉包
閉包の性質
Tea Time：近傍と閉包の関係
第15講 連続写像
2つの距離空間
連続写像
連続性と閉包
連続性と開集合
連続性と閉集合
連続性と近傍
Tea Time：
第16講 同相写像
逆写像
同相写像
同相写像で保たれるもの
位相
Tea Time：距離空間(X,d)では, 位相を変えずに, 2点間の距離がつねに1以下であるような新しい距離を導入できる.
第17講 コンパクトな距離空間
コンパクト空間の定義
コンパクト空間と連続写像
部分空間
開被覆
有限被覆性
コンパクト性と有限被覆性
Tea Time：有限被覆性と有限交叉性
第18講 連結空間
連結性
連続写像と連結性
連結空間の性質
連結成分
弧状連結
Tea Time：連結成分が1点からなる空間
第19講 コーシー列と完備性
互いに近づき合う点列
コーシー列
コーシー列の定義の検討
距離によって与えられる近さの一様性
同相写像と近さの一様性
コーシー列と同相写像
完備な距離空間
Tea Time：
第20講 完備な距離空間
完備な距離空間の例
コンパクト空間の完備性
ベールの定理
ベールの定理の証明
Tea Time：C~[0,1]は完備ではない.
第21講 ベールの性質の応用
ベールの性質の言い換え
各点で微分不可能な連続関数
バナッハの証明
Tea Time：
第22講 完備化
有理数のコーシー列
完備化
コーシー列と完備化
共通な極限へ近づくコーシー列
完備化の概略
Tea Time：
第23講 距離空間から位相空間へ
距離で測れない近さ
可算性
直積空間
距離空間から位相空間へ
Tea Time：高速道路をゆっくり走る自動車
第24講 位相空間
位相空間の登場
近傍
閉集合
閉包
Tea Time：距離空間も, 前講で与えた空間もすべて位相空間である.
第25講 位相空間上の連続写像
連続写像
同相写像
位相的な性質
位相の強弱
Tea Time：ブルバキと構造
第26講 位相空間の構成
部分集合と位相
集合列と位相
集合族と位相
1つの注意
有限個の積空間
Tea Time：最弱位相であることの要請について
第27講 コンパクト空間と連結空間
定義
コンパクトの定義に対する注意
可算被覆性
コンパクト空間と連結空間の連続写像による像
コンパクト空間の閉集合
Tea Time：連結空間の応用例
第28講 分離公理
位相の条件を強める
分離公理
T1空間
T2空間
コンパクトなT2空間
コンパクトなT2空間と連続写像
T3空間
T4空間
Tea Time：
第29講 ウリゾーンの定理
問題の誕生
問題の解決―ウリゾーンの登場
ウリゾーンの定理
(T4)条件の検討
ウリゾーンの定理の証明
Tea Time：
第30講 位相空間から距離空間へ
抽象化の方向と距離空間
距離付け可能問題
ウリゾーンの解決
可算基をもつ空間
定理の証明（概略）
Tea Time：
問題の解答
索引
数学30講（朝倉書店）
- 微分・積分30講 (数学30講シリーズ)
- 線形代数30講 (数学30講シリーズ)
- 集合への30講 (数学30講シリーズ)
- 位相への30講 (数学30講シリーズ)
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- 群論への30講 (数学30講シリーズ)
- ルベーグ積分30講 (数学30講シリーズ)
- 固有値問題30講 (数学30講シリーズ)
- 数学の流れ30講〈上〉16世紀まで
- 数学の流れ30講〈中〉17世紀から19世紀まで
- 数学の流れ30講〈下〉20世紀数学の広がり
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