ベクトル解析30講 (数学30講シリーズ)
最終更新：
uedam1984b 2021年06月25日(金) 07:20:11履歴
数学30講シリーズのページへ戻る
楽しいサイエンスのページに戻る
楽しい数学の森のページへ戻る
フロントページに戻る
ベクトル解析30講 (数学30講シリーズ)
目次
はしがき
第1講 ベクトルとは
風向きを表す
高速道路の車の流れ
磁力線
力学とベクトル
抽象数学の中でのベクトル
線形代数とベクトル解析
Tea Time：
第2講 ベクトル空間
これからのプラン
ベクトル空間の定義
1次独立と1次従属
有限次元のベクトル空間
Tea Time：同型なベクトル空間
第3講 双対ベクトル空間
線形関数
双対ベクトル空間
V*の構造
双対基底
Tea Time：
第4講 ベクトル空間の双対性
視点を変えてみる
1対1対応 V→(V*)*
(V*)*における双対基底
双対性
ベクトルの新しい見方
1変数関数から多変数関数への拡張（挿記）
Tea Time：双対原理について
第5講 双線形関数
双線形関数
双線形関数のつくる空間
Vの元のテンソル積
V⊗Vの元の表示
V⊗Vの構造
Tea Time：
第6講 多重線形関数とテンソル空間
多重線形関数
k-テンソル空間
テンソル積をVの元の’掛け算’として考える
’掛け算’の規則
多項式の掛け算
Tea Time：algebraという単語について
第7講 テンソル代数
テンソル代数
テンソル代数における演算の定義
テンソル代数の構造
テンソル代数と多項式代数との違い
ベクトル空間Vからテンソル代数T(V)へ
Tea Time：
第8講 イデヤル
一般論―イデヤルについて
イデヤルによる類別―同値類
A/Iは代数になる
1つの例
Tea Time：イデヤルについて
第9講 外積代数
目標
x⊗x(x∈V)から生成されるイデヤル
外積代数の定義
E(V)の分解
E(V)の乗法の基本規則
Tea Time：誰が外積代数など考え出したのか
第10講 外積代数の構造
Vの基底をとる
∧kV(k≧3)の場合
1つの注意
E(V)の基底
定理の証明（概略）
Tea Time：
第11講 計量をもつベクトル空間
内積の導入
内積の性質
直交性
R3の場合
Tea Time：
第12講 正規直交基底
正規直交基底
幾何学的な説明
正規直交基底と内積
Tea Time：任意のベクトル空間に内積は導入できる
第13講 内積と基底
基底と内積
内積と双対空間
標準的な同型対応による対応
記号の簡約化（挿記）
Tea Time：テンソルの記号について
第14講 基底の変換
基底変換とそれによって不変な性質
基底変換
成分の変換
双対基底の基底変換
テンソル積の基底変換
外積の基底変換
変換則の行列式
Tea Time：
第15講 R3のベクトルの外積
幕間―空間R3
x×yの定義と基本性質
2つのベクトルの1次独立性
基底ベクトルと外積
x×yの幾何学的性質
コメント
一般に結合則は成り立たない
Tea Time：
第16講 グリーンの公式
微分・積分の基本公式
この式の1つの見方
視点を平面上の領域に移す
左辺の説明
右辺の説明
1つの注意
定理の証明
Tea Time：面積を線積分で表すこと
第17講 微分形式の導入
グリーンの公式の新しい定式化に向けて
ベクトル空間に値をとる関数
C∞-級のベクトル値関数
dx, dyを基底とするベクトル空間
V2上の外積代数
微分形式のつくる空間
外微分
Tea Time：dx, dyという記号について
第18講 グリーンの公式と微分形式
微分形式の積分
グリーンの公式の微分形式による表し方
座標変換による不変性
線形な座標変換
線形な座標変換による不変性
C∞-級の座標変換
Tea Time：
第19講 外微分の不変性
座標変換と関数の変数変換
全微分の復習
ベクトル空間V2の基底の変換則
V2の成分の変換則
外微分の座標変換に関する不変性(��)
外微分の座標変換による不変性(��)
Tea Time：
第20講 グリーンの公式の不変性
向きを保つ座標変換
グリーンの公式の不変性
(4)の証明
(5)の証明
1つのコメント
微分形式について
各点に附随しているベクトル空間V2
Tea Time：表現の意味するもの
第21講 R3上の微分形式
ベクトル空間V3
1次の微分形式
2次および3次の微分形式
微分形式のつくる空間
外微分
外微分の性質
Tea Time：
第22講 ガウスの定理
外微分の不変性
ガウスの定理
C∞-級の曲面
曲面Sの向き
面積分
ガウスの定理の証明
ガウスの定理の不変性
Tea Time：
第23講 微分形式の引き戻し
問題の提起
問題の答えは肯定的
パラメータ表示できる曲面
微分形式の引き戻し
引き戻しによる外微分の不変性
Tea Time：穴の開いた領域と穴の開いた曲面
第24講 ストークスの定理
境界について
ストークスの定理
曲面の向き
ストークスの定理の証明の筋道
(2)の証明
結論
Tea Time：ベクトル解析における慣用の記号
第25講 曲面上の局所座標
パラメーターで表されない曲面
曲面―紙を貼り合わせるというイメージ
曲面を定義する試み
R3の曲面の定義
局所座標
1つの注意
局所座標の変換
Tea Time：曲面の形
第26講 曲面上の微分形式
曲面上のC∞-級関数
余接空間
S上の1次の微分形式
S上の2次の微分形式
外微分
ストークスの定理
Tea Time：クラインの壺
第27講 多様体の定義
はじめに
位相多様体
局所座標の変換
C∞-級の多様体
C∞-級の関数
コメント(��)
コメント(��)
Tea Time：多様体の例
第28講 余接空間と微分形式
余接空間
1次の微分形式
k次の微分形式
微分形式のつくる空間
外微分
余接バンドルの考え
Tea Time：
第29講 接空間
余接空間と接空間
接空間の定義
接空間における基底の変換則
接ベクトルの成分の変換則
曲線の定義する接ベクトル
ベクトル場
Tea Time：ベクトル場は微分作用素にもなっている
第30講 リーマン計量
接空間への内積の導入
内積についての復習
リーマン計量
曲線の長さ
リーマン計量の存在
リーマン計量の表し方
テンソル計算
Tea Time：現代数学への招待:多様体とは何か (ちくま学芸文庫)
数学30講（朝倉書店）
すうがくの風景（朝倉書店）
楽しいサイエンスのページに戻る
楽しい数学の森のページへ戻る
フロントページに戻る
ベクトル解析30講 (数学30講シリーズ) 
目次
はしがき
第1講 ベクトルとは
風向きを表す
高速道路の車の流れ
磁力線
力学とベクトル
抽象数学の中でのベクトル
線形代数とベクトル解析
Tea Time：
第2講 ベクトル空間
これからのプラン
ベクトル空間の定義
1次独立と1次従属
有限次元のベクトル空間
Tea Time：同型なベクトル空間
第3講 双対ベクトル空間
線形関数
双対ベクトル空間
V*の構造
双対基底
Tea Time：
第4講 ベクトル空間の双対性
視点を変えてみる
1対1対応 V→(V*)*
(V*)*における双対基底
双対性
ベクトルの新しい見方
1変数関数から多変数関数への拡張（挿記）
Tea Time：双対原理について
第5講 双線形関数
双線形関数
双線形関数のつくる空間
Vの元のテンソル積
V⊗Vの元の表示
V⊗Vの構造
Tea Time：
第6講 多重線形関数とテンソル空間
多重線形関数
k-テンソル空間
テンソル積をVの元の’掛け算’として考える
’掛け算’の規則
多項式の掛け算
Tea Time：algebraという単語について
第7講 テンソル代数
テンソル代数
テンソル代数における演算の定義
テンソル代数の構造
テンソル代数と多項式代数との違い
ベクトル空間Vからテンソル代数T(V)へ
Tea Time：
第8講 イデヤル
一般論―イデヤルについて
イデヤルによる類別―同値類
A/Iは代数になる
1つの例
Tea Time：イデヤルについて
第9講 外積代数
目標
x⊗x(x∈V)から生成されるイデヤル
外積代数の定義
E(V)の分解
E(V)の乗法の基本規則
Tea Time：誰が外積代数など考え出したのか
第10講 外積代数の構造
Vの基底をとる
∧kV(k≧3)の場合
1つの注意
E(V)の基底
定理の証明（概略）
Tea Time：
第11講 計量をもつベクトル空間
内積の導入
内積の性質
直交性
R3の場合
Tea Time：
第12講 正規直交基底
正規直交基底
幾何学的な説明
正規直交基底と内積
Tea Time：任意のベクトル空間に内積は導入できる
第13講 内積と基底
基底と内積
内積と双対空間
標準的な同型対応による対応
記号の簡約化（挿記）
Tea Time：テンソルの記号について
第14講 基底の変換
基底変換とそれによって不変な性質
基底変換
成分の変換
双対基底の基底変換
テンソル積の基底変換
外積の基底変換
変換則の行列式
Tea Time：
第15講 R3のベクトルの外積
幕間―空間R3
x×yの定義と基本性質
2つのベクトルの1次独立性
基底ベクトルと外積
x×yの幾何学的性質
コメント
一般に結合則は成り立たない
Tea Time：
第16講 グリーンの公式
微分・積分の基本公式
この式の1つの見方
視点を平面上の領域に移す
左辺の説明
右辺の説明
1つの注意
定理の証明
Tea Time：面積を線積分で表すこと
第17講 微分形式の導入
グリーンの公式の新しい定式化に向けて
ベクトル空間に値をとる関数
C∞-級のベクトル値関数
dx, dyを基底とするベクトル空間
V2上の外積代数
微分形式のつくる空間
外微分
Tea Time：dx, dyという記号について
第18講 グリーンの公式と微分形式
微分形式の積分
グリーンの公式の微分形式による表し方
座標変換による不変性
線形な座標変換
線形な座標変換による不変性
C∞-級の座標変換
Tea Time：
第19講 外微分の不変性
座標変換と関数の変数変換
全微分の復習
ベクトル空間V2の基底の変換則
V2の成分の変換則
外微分の座標変換に関する不変性(��)
外微分の座標変換による不変性(��)
Tea Time：
第20講 グリーンの公式の不変性
向きを保つ座標変換
グリーンの公式の不変性
(4)の証明
(5)の証明
1つのコメント
微分形式について
各点に附随しているベクトル空間V2
Tea Time：表現の意味するもの
第21講 R3上の微分形式
ベクトル空間V3
1次の微分形式
2次および3次の微分形式
微分形式のつくる空間
外微分
外微分の性質
Tea Time：
第22講 ガウスの定理
外微分の不変性
ガウスの定理
C∞-級の曲面
曲面Sの向き
面積分
ガウスの定理の証明
ガウスの定理の不変性
Tea Time：
第23講 微分形式の引き戻し
問題の提起
問題の答えは肯定的
パラメータ表示できる曲面
微分形式の引き戻し
引き戻しによる外微分の不変性
Tea Time：穴の開いた領域と穴の開いた曲面
第24講 ストークスの定理
境界について
ストークスの定理
曲面の向き
ストークスの定理の証明の筋道
(2)の証明
結論
Tea Time：ベクトル解析における慣用の記号
第25講 曲面上の局所座標
パラメーターで表されない曲面
曲面―紙を貼り合わせるというイメージ
曲面を定義する試み
R3の曲面の定義
局所座標
1つの注意
局所座標の変換
Tea Time：曲面の形
第26講 曲面上の微分形式
曲面上のC∞-級関数
余接空間
S上の1次の微分形式
S上の2次の微分形式
外微分
ストークスの定理
Tea Time：クラインの壺
第27講 多様体の定義
はじめに
位相多様体
局所座標の変換
C∞-級の多様体
C∞-級の関数
コメント(��)
コメント(��)
Tea Time：多様体の例
第28講 余接空間と微分形式
余接空間
1次の微分形式
k次の微分形式
微分形式のつくる空間
外微分
余接バンドルの考え
Tea Time：
第29講 接空間
余接空間と接空間
接空間の定義
接空間における基底の変換則
接ベクトルの成分の変換則
曲線の定義する接ベクトル
ベクトル場
Tea Time：ベクトル場は微分作用素にもなっている
第30講 リーマン計量
接空間への内積の導入
内積についての復習
リーマン計量
曲線の長さ
リーマン計量の存在
リーマン計量の表し方
テンソル計算
Tea Time：現代数学への招待:多様体とは何か (ちくま学芸文庫)
数学30講（朝倉書店）
- 微分・積分30講 (数学30講シリーズ)
- 線形代数30講 (数学30講シリーズ)
- 集合への30講 (数学30講シリーズ)
- 位相への30講 (数学30講シリーズ)
- 解析入門30講 (数学30講シリーズ)
- 複素数30講 (数学30講シリーズ)
- ベクトル解析30講 (数学30講シリーズ)
- 群論への30講 (数学30講シリーズ)
- ルベーグ積分30講 (数学30講シリーズ)
- 固有値問題30講 (数学30講シリーズ)
- 数学の流れ30講〈上〉16世紀まで
- 数学の流れ30講〈中〉17世紀から19世紀まで
- 数学の流れ30講〈下〉20世紀数学の広がり
すうがくの風景（朝倉書店）
最新コメント