失敗の研究

目次

はじめに

Chap.0　イントロダクション
Chap.1 連分数を使った数当て（基本編）
　1．循環小数の正体を見破る
　2．分数は循環小数である
　3．循環小数を用いた方法の限界
　4．連分数
　5．なぜ数の正体を見破ることができるの？
　6．数列から作った数
　7．グレゴリオ暦
　コラム１　無限等比級数の和の公式
　コラム２　チャンパーノウン数
　コラム３　フィボナッチとフィボナッチ数列
　コラム４　入試や定期試験に出せない問題
Chap.2 無理数の正体を連分数で見破る
　1．無理数√２
　2．2次方程式の解の公式
　3．分母の有理化
　4．連分数を使った数当て（無理数編）
　5．1.414213562の正体を見破る
　6．√２、√３の連分数展開
　コラム５　どの長方形が美しい？
　コラム６　循環連分数によって見破れる数
Chap.3 ユークリッドの互除法と無理数の発見
　1．最大公約数の計算とユークリッドの互除法
　2．ユークリッドの互除法と連分数
　3．線分に対するユークリッドの互除法
　4．正五角形と黄金比
　5．フォン・フリッツの仮説
　コラム７　ユークリッドの『原論』
Chap.4 音階と連分数
　1．即席、対数関数入門
　2．人間の耳は対数耳
　3．ピタゴラス音律
　4．連分数で平均律を読み解く
　コラム８　ネピアーこぼればなし
Chap.5 連分数による近似と、その精度
　1．近似値1.23の精度
　2．連分数近似の精度
　3．隣り合った近似分数は大接近
　4．黄金比とフィボナッチ数
　5．連分数近似の精度の良し悪し
　6．ラマヌジャンの円積問題
　コラム９　小数表示の誤差は1/2n以下
　コラム10　連分数近似
　コラム11　黄金比の2乗
　コラム12　地球の上の円の面積
Chap.6 神様の糸と中間近似分数
　1．神様の糸
　2．代打の選択
Chap.7 連分数と黄金比と松ぼっくり
　1．有理数回転
　2．無理数回転
Chap.8 フェルマーとラマヌジャンの挑戦状
　1．フェルマーからの挑戦状
　2．マハーラノービスの問題
　コラム13　等差数列の和の公式
Chap.9 数当て再考
　1．数の正体とは何か？数の身分証明書作り
　2．代数的数と超越数
　3．周期
　4．超越数の正体を連分数を使って見破る
　コラム14　0.999・・・=1
　コラム15　次数と方程式
　コラム16　代数的数を係数に持つ方程式の解
　コラム17　リウヴィユの超越数の近似分数の精度
　コラム18　リウヴィユの定理、ちょっと進んだ話題

付録
　1．ニュートン法
　2．142857と同様の性質を持つ数
　3．2次方程式の解の公式
　4．小数の底力：2進法の小数
　5．四則のみを使った対数の計算
　6．行列と連分数

練習問題解答
索引

• 連分数のふしぎ (ブルーバックス)
• ある数学者の生涯と弁明 (シュプリンガー数学クラブ)
• ラマヌジャン その生涯と業績に想起された主題による十二の講義 (数学クラシックス)
• 無限の天才 新装版 ―夭逝の数学者・ラマヌジャン
• 自然にひそむ数学―自然と数学の不思議な関係 (ブルーバックス)
• 素数が奏でる物語―2つの等差数列で語る数論の世界 (ブルーバックス)
• 素数入門―計算しながら理解できる (ブルーバックス)
• 素数に憑かれた人たち ~リーマン予想への挑戦~
• リーマン予想とはなにか 全ての素数を表す式は可能か (ブルーバックス)
• 『素数の音楽』
• 『不思議な数πの伝記』