キーポイント線形代数 (理工系数学のキーポイント 2)

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キーポイント線形代数 (理工系数学のキーポイント 2)

目次

編集にあたって
まえがき

ポイント1　ガウスの消去法はオールマイティー
なぜガウスの消去法か
連立1次方程式を確実に解こう
　例題1.1
ピボットが0になったらどうする
　例題1.2
　例題1.3
見かけの式の数にだまされるな
　例題1.4
　例題1.5
　例題1.6

ポイント2　行列式の出どころ
なぜクラメルの公式が必要か
2元連立1次方程式の解
　例題2.1
　例題2.2
行列式のいろいろな性質
3元連立1次方程式の解
　例題2.3
　例題2.4
置換による行列式の定義
　例題2.5
行列式の計算もガウスの消去法で
　例題2.6
　例題2.7

ポイント3　逆行列は逆数の行列版
行列の積
　例題3.1
　例題3.2
余因子展開とは
行列式の積
逆行列の公式
　例題3.3
逆行列の計算もガウスの消去法で
　例題3.4

ポイント4　ベクトル空間に慣れよう
位置ベクトルと数ベクトル
ベクトルの線形独立と線形従属
　例題4.1
　例題4.2
基底とは
ベクトル空間
　例題4.3
　例題4.4
ベクトル空間の次元
　例題4.5
　例題4.6
部分空間

ポイント5　線形変換とその役割
線形変換とは
なぜ線形変換と呼ぶか
線形変換の幾何学的イメージ
　例題5.1
座標変換も線形変換
逆変換
　例題5.2

ポイント6　ランクの定義はどれでも同じ
ランクの計算もガウスの消去法で
　例題6.1
　例題6.2
ランクの意味
　例題6.3
小行列式によるランクの定義
　例題6.4
連立1次方程式とランク
　例題6.5

ポイント7　線形代数の基本定理とは
まずは線形写像から
線形写像の像と核
　例題7.1
商空間とは
　例題7.2
　例題7.3
いよいよ基本定理
連立1次方程式への基本定理の応用
　例題7.4

ポイント8　固有値の意味をつかむ
固有値の幾何学的意味
固有値・固有ベクトルを計算する
　例題8.1
　例題8.2
微分方程式と固有値
　例題8.3

ポイント9　行列を対角化する
行列の対角化とは
　例題9.1
どんな行列でも対角化できるか
　例題9.2
　例題9.3
なぜ対角化をするのか
　例題9.4
実対称行列は直交行列で
　例題9.5
エルミート行列はユニタリ行列で
　例題9.6

ポイント10　ジョルダン標準形は最後の切り札
2×2行列のジョルダン標準形
　例題10.1
ジョルダン標準形と微分方程式
　例題10.2
3×3行列のジョルダン標準形
　例題10.3
　例題10.4
　例題10.5
ジョルダン標準形に対する注意

あとがき
さくいん

キーポイント行列と変換群 (理工系数学のキーポイント 8)

目次

編集にあたって
まえがき

ポイント1　ベクトルを回転してみよう
2次元位置ベクトル
直交座標系の回転
内積は変わらない
行列を使ってみよう
ベクトルそのものの回転
一般の2次元ベクトルと正規直交基底
　例題1.1

ポイント2　行列は回転を引き起こす
2次元回転行列の性質
直交行列とは
　例題2.1
「群」を学ぶ第1歩
複素数も使ってみよう
無限小回転
群の名前の付け方

ポイント3　役に立つ行列の基本操作
トレース, 転置, そして共役転置
交換子積
　例題3.1
　例題3.2
特徴的な行列のクラス
　例題3.3
　例題3.4
直交行列と直交群
ユニタリ行列とユニタリ群
　例題3.5

ポイント4　ベクトル空間と変換群
3次元ベクトル
線形変換と内積の不変性
2次元複素ベクトル
内積を不変に保つ変換
行列もベクトルになる
行列の内積
　例題4.1
　例題4.2
　例題4.3
行列の内積を不変に保つ線形変換
群と線形変換の関わり

ポイント5　行列の指数関数
行列の指数関数
　例題5.1
　例題5.2
行列の指数関数の積と逆行列
　例題5.3
指数関数の積を与える公式

ポイント6　行列の指数関数の微分と行列式
行列を微分する
　例題6.1
行列の指数関数の微分
行列の指数関数の行列式
　例題6.2
ジョルダン標準形の登場
　例題6.3
　例題6.4
特徴的な行列とその指数関数
　例題6.5
　例題6.6
　例題6.7

ポイント7　3次元の回転
3次元直交座標系の回転
オイラー角で回す
　例題7.1
　例題7.2
3次元回転と行列の指数関数
　例題7.3
3次元回転の生成子
　例題7.4
　例題7.5
　例題7.6
　例題7.7

ポイント8　ユニタリ行列と3次元の回転
2×2ユニタリ行列をつくる
活躍するパウリ行列
　例題8.1
　例題8.2
ユニタリ行列による3次元座標回転
　例題8.3
　例題8.4
3次元ベクトルの回転とユニタリ変換
　例題8.5
SO(3)とSU(2)との関係

ポイント9　ベクトル, テンソル, そしてスピノール
ベクトルからテンソルへ
　例題9.1
　例題9.2
テンソルの変換行列とSO(3)の表現
スピノール現れる
変換則と群の表現

ポイント10　最後にリー代数の話
リー代数を決める行列の指数関数
　例題10.1
リー代数と交換子積
　例題10.2
同じリー代数：so(3)とsu(2)
　例題10.3
随伴表現について

あとがき

山内恭彦, 杉浦光夫：連続群論入門, 培風館
島和久：連続群とその表現, 岩波書店
竹内外史：リー代数と素粒子論, 裳華房
横田一郎：古典型単純リー群, 現代数学社
H.ジョージアイ：物理学におけるリー代数, 吉岡書店
佐藤光：物理数学特論群と物理, 丸善
佐武一郎：リー群の話, 日本評論社
朝永振一郎：スピンはめぐる, 中央公論社

さくいん

行列と1次変換 (理工系の数学入門コース 2)

目次
　理工系学生のために
　はじめに

1 ベクトル
1-1 ベクトルの演算
　平面と空間のベクトル
　ベクトルの和と差
　ベクトルの内積
　例題1.1
　ベクトルの外積
　例題1.2
問題1-1
1-2 ベクトルと座標
　数ベクトル
　例題1.3
　例題1.4
　例題1.5
　例題1.6
　例題1.7
　ベクトルの独立性
　例題1.8
　基本ベクトル
問題1-2
1-3 ｎ次元ベクトル
　n次元ベクトル
　2つのベクトルのなす角
　例題1.9
　基本ベクトル
　例題1.10
問題1-3
第1章演習問題

2 行列
2-1 行列とは
　行列の定義
　行列の演算
　スカラー倍
　和と差
　例題2.1
　例題2.2
問題2-1
2-2 1次変換
問題2-2
2-3 行列の積と転置行列
　積
　例題2.3
　演算の公式
　積
　例題2.4
　転置行列
問題2-3
2-4 行列の分割
　小行列
　小行列による演算
　スカラー倍
　和
　積
　例題2.5
問題2-4
第2章演習問題

3 行列式
3-1 連立1次方程式と行列式
　2次の行列式
　例題3.1
　2次の行列式の幾何学的意味
　3次の行列式
　3次の行列式の幾何学的意味
　例題3.3
問題3-1
3-2 行列式の展開
　余因子
　行列式
　例題3.3
　例題3.4
　例題3.5
　例題3.6
　ラプラス展開
問題3-2
3-3 行列式の演算
　演算1
　演算2
　演算3
　演算4
　演算5
　演算6
　演算7
　例題3.7
　演算8
　|AB|=|A||B|の証明
　例題3.8
問題3-3
3-4 行列式の幾何学的応用
　原点を通る直線
　原点と2点を通る平面
　3角形の面積
　例題3.9
　4面体の体積
　例題3.10
問題3-4
第3章演習問題

4 逆行列
4-1 逆行列
　逆行列
　例題4.1
　例題4.2
問題4-1
4-2 正方行列の性質
　例題4.3
問題4-2
4-3 クラメルの公式
　例題4.4
問題4-3
4-4 同次方程式
　例題4.5
　例題4.6
問題4-4
第4章演習問題

5 行列の基本変形
5-1 行列の変形
　3×3型行列の変形
問題5-1
5-2 基本変形
　例題5.1
　行基本行列
　列基本行列
　行列の変形による逆行列の作り方
問題5-2
5-3 連立1次方程式の解の有無
　行列の階数
　階数の性質
　例題5.3
　任意性のある解
　例題5.4
　同次方程式
問題5-3
第5章演習問題

6 直交変換と固有値
6-1 直交変換
　逆変換
問題6-1
6-2 固有振動
　固有振動
　2次形式
問題6-2
6-3 固有値問題
　固有方程式
　固有ベクトルの直交性
　例題6.1
　1次変換と固有ベクトル
問題6-3
6-4 2次形式
　2次曲線
　例題6.2
　主軸
　例題6.3
問題6-4
6-5 行列の対角化
問題6-5
第6章演習問題

さらに勉強するために
・藤原松三郎『行列及び行列式』（岩波全書）
・古屋茂『行列と行列式』培風館
・矢野健太郎『1次変換』（数学ワンポイント双書）共立出版
・土井真夫『行列と群』現代数学社
・石谷茂『行列』現代数学社
・伊理正夫他『現代応用数学の基礎』第2巻, 日本評論社
・矢野源太郎・石原茂『線形代数』裳華房
・寺田文行『線形代数』（サイエンスライブラリ・理工系の数学）サイエンス社
・甘利俊一・金谷健一『線形代数』（理工学者が書いた数学の本）講談社
・入江昭二『線形数学Ⅰ,Ⅱ』共立出版
・西垣久實・洲之内治男『改訂マトリクスとその応用』（応用数学講座第1巻）コロナ社

問題略解
索引

コーヒー・ブレイク
　ツルカメ算と代数
　魔法陣
　行列と行列式
　奇順列と偶順列
　順列と行列式
　マトリックス力学

微分方程式演習 (理工系の数学入門コース演習4)

目次

演習のすすめ
はじめに

1 自然法則と微分方程式
1-1 微積分の予備知識
1-2 微分方程式の簡単な例
1-3 微分方程式の解
1-4 微分方程式の用語

2 微分方程式の初等的解法
2-1 変数分離型方程式
2-2 同次型方程式
2-3 1階線形微分方程式
2-4 完全微分型方程式
2-5 非正規型方程式

3 定数係数の2階線形微分方程式
3-1 斉次方程式と標準形
3-2 斉次方程式と指数関数解
3-3 2階斉次方程式の基本解
3-4 非斉次方程式の解
3-5 非斉次方程式の解法―代入法

4 変数係数の2階線形微分方程式
4-1 斉次方程式と基本解
4-2 ロンスキアン
4-3 特別な型の微分方程式
4-4 整級数展開
4-5 確定特異点

5 高階線形微分方程式―連立1階線形微分方程式
5-1 連立1階微分方程式と高階微分方程式
5-2 2元連立方程式(Ⅰ)
5-3 2元連立方程式(Ⅱ)
5-4 連立方程式の一般論

6 微分方程式と相空間―力学系の理論
6-1 物体の運動と相空間
6-2 微分方程式と力学系
6-3 自励振動

問題解答
索引

コーヒー・ブレイク
　専門用語―英語の場合
　細菌とマルサスのモデル
　その記号はどんな意味？
　ラグランジュ
　君の名は？？
　ラグランジュに大きな影響を与えた人たち
　　―ダランベールとオイラー
　理想主義者のエルミート
　解の存在と一意性
　ヘビサイドと演算子法
　計算力と数学

Tips
　変数が整数でも微分可能と考えられる場合
　保存則を利用する
　微分方程式と解の関係
　双曲線関数
　dx, dyを独立した量とみなす
　分母が０になったら？
　同次式の定義
　積分因子を予想する
　正しい解になっているか, 確認しよう
　解法の違いの意味
　よく使う役に立つ関係式
　応用範囲の広い定数変化法
　特解を求めるには重ね合わせの定理を活用せよ
　臨機応変―代入法がだめなら定数変化法で
　ロンスキアンが0なら1次従属か？
　斉次方程式の解の一意性
　斉次方程式とロンスキアン
　経験を積む
　微分方程式の特異点
　x=ρでの収束・発散は？
　多項式以外の解はないのか
　見かけの特異点
　高階微分方程式を連立微分方程式に変える変数変換
　一般解を決定するのに必要な微分方程式の個数
　解軌道と微分方程式
　任意定数についての注意
　(5.19)の任意定数は？
　基本解と基準振動
　レゾルベント行列であるための必要十分条件
　一般解を求めるには, 勘も大切
　相空間
　周期運動の解軌道と作用変数
　平衡点を物理的にとらえると
　自励系の解を相空間で見ると
　自励系とは実際にはどのような系か
　解軌道の集積
　線形近似が正しい時, 正しくないとき

常微分方程式 (理工系の数学入門コース 4)

目次

理工系の学生のために
はじめに

1 自然法則と微分方程式
1-1 微積分の予備知識について
1-2 微分方程式の簡単な例
1-3 微分方程式の解
1-4 微分方程式の用語
1-5 微分方程式論
第1章演習問題

2 微分方程式の初等解法
2-1 変数分離型方程式
2-2 同次型方程式
2-3 1階線形微分方程式
2-4 完全微分型方程式
2-5 非正規型方程式
第2章演習問題

3 定数係数の2階線形微分方程式
3-1 斉次方程式と標準形
3-2 斉次方程式と指数関数解
3-3 2階斉次方程式の基本解
3-4 非斉次方程式の解
3-5 非斉次方程式の解法：代入法
第3章演習問題

4 変数係数の2階線形微分方程式
4-1 斉次方程式と基本解
4-2 ロンスキアン
4-3 特別な型の微分方程式
4-4 整級数展開
4-5 確定特異点
第4章演習問題

5 高階線形微分方程式―連立1階線形微分方程式
5-1 連立1階微分方程式と高階微分方程式
5-2 2元連立方程式(Ⅰ)
5-3 2元連立方程式(Ⅱ)
5-4 連立方程式の一般論
第5章演習問題

6 微分方程式と位相空間―力学系の理論
6-1 物体の運動と相空間
6-2 微分方程式と力学系
6-3 自励系の解軌道
第6章演習問題

さらに勉強するために
問題略解
索引

コーヒー・ブレイク
　微積分法先取権戦
　ベルヌイ一家
　早熟の天才
　最大の計算家
　1-1+1-1+…=1/2
　ブレーメンの商館見習い
　18世紀の教授職探し
　カラーテレビの普及率

常微分方程式 (技術者のための高等数学)

目次

1. 1階の常微分方程式
1.1 基本的な諸概念
　解の概念
　応用, モデル化, 初期値問題
　問題1.1
1.2 y'=f(x,y)の幾何学的意味と方向場
1.3 分離可能な微分方程式
1.4 モデル化：分離可能な方程式
1.5 完全微分方程式：積分因子
1.6 線形微分方程式：ベルヌーイの方程式
1.7 モデル化：電気回路
1.8 曲線の直交軌道
1.9 解の存在と一意性：ピカールの反復法
1章の復習
1章のまとめ

2. 線形常微分方程式
2.1 2階の同次線形方程式
2.2 定数係数の2階同次方程式
2.3 複素根の場合, 複素指数関数
2.4 微分演算子
2.5 モデル化：自由振動（質量-ばね系）
2.6 オイラー・コーシーの方程式
2.7 存在と一意性の理論, ロンスキ行列式
2.8 非同次方程式
2.9 未定乗数法
2.10 定数変化法
2.11 モデル化：強制振動, 共振
2.12 電気回路のモデル化
2.13 高階線形微分方程式
2.14 定数係数の高階同次方程式
2.15 高階非同次方程式
2章の復習
2章のまとめ

3. 連立微分方程式, 相平面, 安定性
3.0 序論：ベクトル, 行列, 固有値
3.1 序論：例題による導入
3.2 基本的な概念と理論
3.3 定数係数の同次連立方程式, 相平面, 臨界点
3.4 臨界点の基準, 安定性
3.5 連立非線形方程式に対する定性的方法
3.6 連立非同次線形方程式
3章の復習
3章のまとめ

4. 微分方程式のべき級数解, 直交関数
4.1 べき級数法
4.2 べき級数法の理論
4.3 ルジャンドルの方程式, ルジャンドルの多項式Pn(x)
4.4 フロベニウス法
4.5 ベッセルの方程式, 第1種ベッセル関数Jv(x)
4.6 第2種ベッセル関数Yv(x)
4.7 ステュルム・リウビル問題, 直交関数
4.8 直交固有関数展開
4章の復習
4章のまとめ

付録1　参考文献
付録2　奇数番号の問題の解答
付録3　補足事項
A3.1 基本的な関数の公式
A3.2 偏導関数
A3.3 数列と級数
付録4　追加証明
付録5　数表

索引

失敗の研究