群論への30講 (数学30講シリーズ)

　数学30講シリーズのページへ戻る

　楽しいサイエンスのページに戻る
　楽しい数学の森のページへ戻る

　フロントページに戻る

群論への30講 (数学30講シリーズ)

目次

はしがき

第1講　シンメトリー
1つの詩
ワイルの『シンメトリー』
『シンメトリー』の調べ
いくつかのシンメトリー
日本の紋様にみられるシンメトリー

Tea Time：対称性をもつパターン

第2講　シンメトリーと群
左右対称
平行移動
平面上の平行移動
回転による対称性
回転と反転

Tea Time：変換の非可換性

第3講　群の定義
変換の性質
群の定義
定義に対するコメント
(ab)-1=b-1a-1
変換と群

Tea Time：

第4講　群に関する基本的な概念
有限群と無限群
可換群と非可換群
3つのものの上の置換
置換の表示
S3の非可換性

Tea Time：

第5講　対称群と正6面体群
n次の対称群
記法の簡易化
対称群S1,S2,S3,S4
正6面体群
正6面体群の元
群の同型

Tea Time：左右対称の群

第6講　対称群と交代群
正6面体群の回転の相互関係
互換
偶置換と奇置換
交代群

Tea Time：対称式と交代式

第7章　正多面体群
正多面体
正多面体群
部分群
正4面体群
正6面体群
正8面体群
P(4)とP(6)の関係
正12面体と正20面体
正20面体群
正6面体と正12面体の関係

Tea Time：正多面体と球面

第8講　部分群による類別
部分群による同値関係
同値類による類別
部分群による類別
記法について
有限群とその部分群の位数
正6面体群と部分群
一般の正多面体群

Tea Time：左余剰類と右余剰類

第9講　巡回群
2π/nの回転
有限巡回群
有限群の中の巡回部分群
群の位数と元の位数
位数が素数の群
位数4の群

Tea Time：無限巡回群

第10講　整数と群
整数
剰余類
剰余類のつくる加群Zn
Znと平面の回転
互いに素な数

Tea Time：

第11講　整数の余剰類のつくる乗法群
剰余類の掛け算
剰余類の中に乗法によって群の構造が入るか？
nと素な剰余類のつくる乗法群Zn*
Zn*の位数―nが素数pのとき
Zn*の位数―nが素数pのベキのとき
Zn*の位数―一般の場合

Tea Time：pが素数のとき, Zp*は巡回群となる

第12講　群と変換
変換という視点に立って
はじめに
群の働き
任意の群は, 自分自身の上に働く
有限群Gの置換としての働き
準同型
有限群から対称群への準同型写像
'表現'という言葉

Tea Time：置換は行列として表現される

第13講　軌道
正6面体群と軌道
軌道
固定部分群
軌道と固定部分群
1つの応用

Tea Time：

第14講　軌道（つづき）
中心
群の位数と中心
シロー群の存在

Tea Time：シローについて

第15講　位数の低い群
群の直積
巡回群の直積
正2面体群Dn(n≧3)
位数が14までの群
位数2pの群（p≠2は素数）
位数p2の群（pは素数）
4元数群Q
位数8の群

Tea Time：位数12の群

第16講　共役類
共役類と中心化群
置換を巡回置換の積として表す
巡回置換としての表し方
S7の元の共役類

Tea Time：Snの1つの元の共役類に含まれる元の個数

第17講　共役な部分群と正規部分群
群の部分群の集合の上への働き
正規部分群
G/Hは群となる
可換群のとき

Tea Time：数直線と円周

第18講　正規部分群
単純群
記号
いくつかの単純な事実
巡回群
交代群
組成別
じ
ジョルダン-ヘルダーの定理

Tea Time：単純群について

第19講　準同型定理
準同型写像
準同型写像の核
逆像
部分群の対応
準同型定理
準同型定理の意味するもの
同型定理

Tea Time：

第20講　有限生成的なアーベル群
有限生成的
有限生成的なアーベル群
コメント
証明の試み
1つの定理
問題を行列で言い直す
線形代数から

Tea Time：対称群は2つの元から生成される

第21講　アーベル群の基本定理の証明
線形代数における基本変形
定理の証明に戻って
Z上の基本変形
許される基本変形
Z上の基本変形の結果
基本定理の証明
(☘)の証明

Tea Time：

第22講　基本群
3つの曲面
ホモトープ
閉曲線
ホモトピー類
ホモトピー類の演算
基本群
ドーナツ面の基本群
2つ穴のあいた面の基本群

Tea Time：

第23講　生成元と関係
基本群の生成元と関係
関係をもたない生成元
自由群F3
関係の導入

Tea Time：群の元の個数, 有限群と自由群の違い

第24講　自由群
語（ワード）
いくつかの結果
自由群
任意の群は自由群の商群となる

Tea Time：

第25講　有限的に表示される群
自由群と関係
Gが階数nの可換群のとき
表示
例
対称群Snの有限表示

Tea Time：交換子群について

第26講　位相群
実数の加群と近さ
演算が連続性をもつ群
位相群へ
距離をもつ位相群
群の演算と位相同型写像

Tea Time：

第27講　位相群の様相
代数的なものと位相的なもの
閉部分群
連結成分
近傍系
シュライエルの定理

Tea Time：

第28講　不変測度
数直線上の長さと加群R
正の実数のつくる乗法群
有限群上の不変測度
一般の群に対して
位相群に対して

Tea Time：amenable群について

第29講　群環
コンパクト群
コンパクト群の不変測度
群環
関数の見方への移行
コンパクト群の群環

Tea Time：

第30講　表現
’表現’ということ
群の表現
同値な表現
不変部分空間
既約性と完全可約性
ユニタリ行列による表現
完全可約性
コンパクト群の表現について

Tea Time：正則表現について

索引