ルベーグ積分30講 (数学30講シリーズ)
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uedam1984b 2021年07月08日(木) 14:56:57履歴
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ルベーグ積分30講 (数学30講シリーズ)
目次
はしがき
第1講 広がっていく極限
極限の考え
拡がっていく極限
面積の考え
面積と極限
Tea Time：
第2講 数直線上の長さ
区間の長さ
平均移動による不変性
有限加法性
実数の連続性
完全加法性
Tea Time：
第3講 直線上の完全加法性の様相
有理数の集合
有理数を囲む集合
測度0の集合
繰り返されていく3等分
カントル集合
完全加法性と零集合
Tea Time：
第4講 ふつうの面積概念―ジョルダン測度
議論する立場―RkとR2
面積に対するふつうの考え方
面積の概念
内側から測った面積と外側から測った面積
分点の数を増やし, タイルを細かくする
面積
Tea Time：
第5講 ルベーグ外測度
可算個の長方形で覆う
コメント
ルベーグ外測度
長方形の外測度
平行移動による不変性
Tea Time：
第6講 ルベーグ内測度
内側から測る
内測度
内測度の性質
ルベーグ可測な集合
Tea Time：
第7講 可測集合―ルベーグの構想
ルベーグの学位論文
平面上の開集合, 閉集合
ルベーグの考察
Tea Time：
第8講 カラテオドリの構想
ルベーグの意味での可測性
カラテオドリの意味での可測性
2つの可測性
一般のRkの場合
カラテオドリの構想
Tea Time：
第9講 カラテオドリの外測度
∞の演算規約
カラテオドリの外測度
可測集合の定義
ボレル集合体
Tea Time：
第10講 可測集合族
可測集合全体はボレル集合体をつくる
可測集合の測度
測度の完備性
Tea Time：
第11講 測度空間
はじめに
測度空間の導入
有限個の集合演算と測度
増加列と減少列
集合列の上極限と下極限
Tea Time：
第12講 ルベーグ測度
Rk上のルベーグ測度空間
ルベーグ外測度の1つの性質
’半開区間’の可測性と測度
Rkの開集合と閉集合
Rkのボレル集合
等測包
Tea Time：
第13講 可測集合の周辺
2つの可測性の一致
等測核
可測集合の表示
面積と測度
Tea Time：
第14講 測度論の光と影
はじめに
開集合, 連続関数, 測度
可測集合全体のつくる集合の濃度
零集合
非可測集合
Tea Time：
第15講 リーマン積分
積分と面積
リーマン積分
リーマン積分可能な関数
リーマン積分可能な条件
Tea Time：
第16講 ルベーグ積分へ向けて
極限操作
新しい積分論への期待
’期待’に対するコメント
単関数
ルベーグ積分構成のアイデア
Tea Time：
第17講 可測関数
連続関数から可測関数へ
可測関数
R1の開集合と閉集合の逆像
Rlの開集合の逆像
可測関数の和と積
可測関数列
Tea Time：
第18講 可測関数の積分
測度空間上の可測関数
単関数とその積分
単関数の積分の性質
可測関数の積分
可測関数の単関数による近似
関数列―収束と一様収束
Tea Time：
第19講 積分の基本定理
エゴロフの定理
エゴロフの定理の効果
積分の基本定理
Tea Time：
第20講 積分の性質
積分の和
関数項の級数
共通点のない集合列上の積分
増加列の極限
ファトゥーの不等式
可積分関数
可積分関数の積分
ルベーグの収束定理
Tea Time：
第21講 Rk上のルベーグ積分
リーマン積分可能な関数―問題の提起
リーマン積分とルベーグ積分
広義積分とルベーグ積分
ルージンの定理
Tea Time：
第22講 可積分関数のつくる空間
ほとんど至るところ等しい
可積分関数のつくる空間
fの’長さ’としての線積分
同値類の導入
同値類の積分
Tea Time：
第23講 完備性
記号選択に対する1つの決断
L1(X)の性質
完備性
Rkの場合
リーマン積分からルベーグ積分へ
Tea Time：
第24講 L2-空間
はじめに
2乗可積な関数
L2-空間
中線定理と1つの補助定理
直交分解
リースの定理
Tea Time：
第25講 完全加法的集合関数
測度概念の一般化
完全加法的集合関数
ハーン分解とジョルダン分解
2つの分解の相互関係
証明に対するコメント
Tea Time：
第26講 ラドン・ニコディムの定理
はじめに
絶対連続性
ラドン・ニコディムの定理
ラドン・ニコディムの定理（弱い形）
(＃)の証明
証明に対するコメント
特異性
Tea Time：
第27講 ヴィタリの被覆定理
集合関数を微分する？
Rkの集合の立方体による被覆
ヴィタリの被覆定理
定理の証明
コメント
Tea Time：
第28講 被覆定理の応用
ルベーグ測度を微分する
密度
密度定理の証明
完全加法的集合関数の微分
ラドン・ニコディムの定理と微分
1変数関数の微分
Tea Time：
第29講 フビニの定理
問題の起こり
ジョルダン式測度
可算加法的ジョルダン式測度空間
拡張定理
拡張定理の証明の考え方
積空間上の測度構成への道
積空間の測度
フビニの定理
Tea Time：
第30講 位相的外測度
位相的外測度
連続関数の空間上の正値汎関数
ハウスドルフ測度
Tea Time：
索引
数学30講（朝倉書店）
すうがくの風景（朝倉書店）
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ルベーグ積分30講 (数学30講シリーズ) 
目次
はしがき
第1講 広がっていく極限
極限の考え
拡がっていく極限
面積の考え
面積と極限
Tea Time：
第2講 数直線上の長さ
区間の長さ
平均移動による不変性
有限加法性
実数の連続性
完全加法性
Tea Time：
第3講 直線上の完全加法性の様相
有理数の集合
有理数を囲む集合
測度0の集合
繰り返されていく3等分
カントル集合
完全加法性と零集合
Tea Time：
第4講 ふつうの面積概念―ジョルダン測度
議論する立場―RkとR2
面積に対するふつうの考え方
面積の概念
内側から測った面積と外側から測った面積
分点の数を増やし, タイルを細かくする
面積
Tea Time：
第5講 ルベーグ外測度
可算個の長方形で覆う
コメント
ルベーグ外測度
長方形の外測度
平行移動による不変性
Tea Time：
第6講 ルベーグ内測度
内側から測る
内測度
内測度の性質
ルベーグ可測な集合
Tea Time：
第7講 可測集合―ルベーグの構想
ルベーグの学位論文
平面上の開集合, 閉集合
ルベーグの考察
Tea Time：
第8講 カラテオドリの構想
ルベーグの意味での可測性
カラテオドリの意味での可測性
2つの可測性
一般のRkの場合
カラテオドリの構想
Tea Time：
第9講 カラテオドリの外測度
∞の演算規約
カラテオドリの外測度
可測集合の定義
ボレル集合体
Tea Time：
第10講 可測集合族
可測集合全体はボレル集合体をつくる
可測集合の測度
測度の完備性
Tea Time：
第11講 測度空間
はじめに
測度空間の導入
有限個の集合演算と測度
増加列と減少列
集合列の上極限と下極限
Tea Time：
第12講 ルベーグ測度
Rk上のルベーグ測度空間
ルベーグ外測度の1つの性質
’半開区間’の可測性と測度
Rkの開集合と閉集合
Rkのボレル集合
等測包
Tea Time：
第13講 可測集合の周辺
2つの可測性の一致
等測核
可測集合の表示
面積と測度
Tea Time：
第14講 測度論の光と影
はじめに
開集合, 連続関数, 測度
可測集合全体のつくる集合の濃度
零集合
非可測集合
Tea Time：
第15講 リーマン積分
積分と面積
リーマン積分
リーマン積分可能な関数
リーマン積分可能な条件
Tea Time：
第16講 ルベーグ積分へ向けて
極限操作
新しい積分論への期待
’期待’に対するコメント
単関数
ルベーグ積分構成のアイデア
Tea Time：
第17講 可測関数
連続関数から可測関数へ
可測関数
R1の開集合と閉集合の逆像
Rlの開集合の逆像
可測関数の和と積
可測関数列
Tea Time：
第18講 可測関数の積分
測度空間上の可測関数
単関数とその積分
単関数の積分の性質
可測関数の積分
可測関数の単関数による近似
関数列―収束と一様収束
Tea Time：
第19講 積分の基本定理
エゴロフの定理
エゴロフの定理の効果
積分の基本定理
Tea Time：
第20講 積分の性質
積分の和
関数項の級数
共通点のない集合列上の積分
増加列の極限
ファトゥーの不等式
可積分関数
可積分関数の積分
ルベーグの収束定理
Tea Time：
第21講 Rk上のルベーグ積分
リーマン積分可能な関数―問題の提起
リーマン積分とルベーグ積分
広義積分とルベーグ積分
ルージンの定理
Tea Time：
第22講 可積分関数のつくる空間
ほとんど至るところ等しい
可積分関数のつくる空間
fの’長さ’としての線積分
同値類の導入
同値類の積分
Tea Time：
第23講 完備性
記号選択に対する1つの決断
L1(X)の性質
完備性
Rkの場合
リーマン積分からルベーグ積分へ
Tea Time：
第24講 L2-空間
はじめに
2乗可積な関数
L2-空間
中線定理と1つの補助定理
直交分解
リースの定理
Tea Time：
第25講 完全加法的集合関数
測度概念の一般化
完全加法的集合関数
ハーン分解とジョルダン分解
2つの分解の相互関係
証明に対するコメント
Tea Time：
第26講 ラドン・ニコディムの定理
はじめに
絶対連続性
ラドン・ニコディムの定理
ラドン・ニコディムの定理（弱い形）
(＃)の証明
証明に対するコメント
特異性
Tea Time：
第27講 ヴィタリの被覆定理
集合関数を微分する？
Rkの集合の立方体による被覆
ヴィタリの被覆定理
定理の証明
コメント
Tea Time：
第28講 被覆定理の応用
ルベーグ測度を微分する
密度
密度定理の証明
完全加法的集合関数の微分
ラドン・ニコディムの定理と微分
1変数関数の微分
Tea Time：
第29講 フビニの定理
問題の起こり
ジョルダン式測度
可算加法的ジョルダン式測度空間
拡張定理
拡張定理の証明の考え方
積空間上の測度構成への道
積空間の測度
フビニの定理
Tea Time：
第30講 位相的外測度
位相的外測度
連続関数の空間上の正値汎関数
ハウスドルフ測度
Tea Time：
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