失敗の研究

目次

Y氏とH君の会話

1 ケプラー問題を解く
1.1 2体問題とケプラー問題
1.2 第1積分と軌道の導出
1.3 極座標による変数分離とケプラー方程式
1.4 ケプラー方程式を解く
…フーリエ級数展開(1.29)の導出
1.5 離心近点角
1.6 諸量の平均近点角による表現
…(α/r), cosf, sinuの展開式
…cosu, (r/α)の展開式
…(r/α)cosf, (r/α)sinfの展開式
1.7 フーリエ級数展開の収束の様子
Y氏とH君の会話

2 解析的に解ける問題―可積分系
2.1 2次元の調和振動子
…軌道の形
2.2 任意の中心力場での質点の運動
2.3 可積分系と超可積分系
Y氏とH君の会話

3 解析的に解けない問題―非可積分系とカオス
3.1 ある同次多項式ポテンシャル系の軌道
3.2 ポアンカレ写像
3.3 軌道の不安定性による不規則軌道の特徴づけ
Y氏とH君の会話

4 可積分系のリストを目指して―可積分性の必要条件とその周辺
4.1 問題の所在
4.2 運動方程式から有限の手続きで計算できる量
…解のテイラー級数展開
…特異点近傍での解の展開
…直線解近傍での解の展開
4.3 同次式ポテンシャル系の直線解と変分方程式
4.4 ジグリンの補題
4.5 可積分性の必要条件―モラレス-ラミスの定理
　定理1（モラレス-ラミス）
4.6 ガウスの方程式の可解性に関する木村の定理
　定理2（木村俊房）
4.7 シュヴァルツの表
4.8 同次式ポテンシャル系の可積分性の必要条件
…一般の同次式ポテンシャル系についての主張
　定理3（モラレス-ラミス）
…可積分な3次および4次の同次多項式ポテンシャルのリスト
…可積分な同次多項式ポテンシャルのリスト作成に向けて
　定理4（中川克也）
Y氏とH君の会話

参考文献
索引

• 『微分方程式で数学モデルを作ろう』
• 「Excel で試す非線形力学」
• 社会現象の計算機実験―MathematicaとExcelを使って
• Excelコンピュータシミュレーション - 数学モデルを作って楽しく学ぼう
• Excelで遊ぶ手作り数学シミュレーション(ブルーバックス)
• 岩波講座 物理の世界 力学〈4〉力学の解ける問題と解けない問題
• 天体と軌道の力学
• 『力学』岩波講座 現代の物理学 1