失敗の研究

目次

まえがき

1 ケプラーの法則と万有引力
1.1 楕円
　問題1.1
　問題1.2
　問題1.3
　問題1.4
　問題1.5
　問題1.6
　問題1.7
　問題1.8
1.2 ケプラーの法則
　例1.1
　例1.2
　問題1.9
1.3 ケプラーの法則から万有引力の法則へ
　問題1.10
　問題1.11
1.4 空間はなぜ3次元か？
1.4.1 球殻のポテンシャル
　問題1.12
　問題1.13
　問題1.14
　問題1.15
1.4.2 球対称分布している物体のポテンシャル

2 2体問題
2.1 運動方程式
　問題2.1
　問題2.2
2.2 運動方程式の解
　問題2.3
　問題2.4
　問題2.5
　問題2.6
　例2.2
　問題2.7
2.3 離心積分
　例2.3
　問題2.8
　問題2.9
2.4 2体問題の諸公式
2.4.1 楕円運動
a) 楕円運動の幾何学的関係式
b) 時刻tとuの関係
c) 力学的物理量h, Eと幾何学的量a, eとの関係
d) 時間微分を含んだ関係式
　問題2.10
　問題2.11
e) r, fのu, a, eについての偏微分
　問題2.12
　問題2.13
2.4.2 双曲線運動
a) 幾何学的関係式
b) 時刻tと媒介変数uの関係式
c) 力学的物理量h, Eと幾何学的量a, eの関係式
d) 時間微分を含んだ関係式
　問題2.14
2.4.3 放物線運動
a) 幾何学的関係式
b) 時刻tと媒介変数uの関係式
c) 角運動量hと幾何学的量（近日点距離）qの関係式
d) 時間微分を含んだ関係式
　例2.4
　問題2.15
2.5 楕円運動の展開
2.5.1 陰関数の定理
2.5.2 離心近点離角の展開
2.5.3 コーシーの第1定理
　例2.5a
　例2.5b
　問題2.16
2.5.4 諸量の平均近点離角に関する展開
2.6 ケプラー運動の平均値
　例2.6a
　例2.6b
　例2.6c
　例2.6d
　例2.6e
　例2.6d
　例2.6f
　例2.6g
　例2.6h
　問題2.17
　問題2.18
　問題2.19
2.7 ケプラー方程式の解法
2.7.1 1次収束解法
　問題2.20
　例2.7a 冥王星
　例2.7b ハレー彗星
2.7.2 ニュートン・ラプソン法
　問題2.21
　問題2.22
　例2.7c
2.8 位置・速度と軌道要素の関係
2.8.1 軌道要素
2.8.2 軌道要素から位置・速度を求める計算
　問題2.23
2.8.3 位置・速度から軌道要素を求める1つの方法
　問題2.24
　問題2.25
　問題2.26

3 2体問題の応用
3.1 ホーマン軌道
　問題3.1
　例3.1
　問題3.2
　問題3.3
　問題3.4
　問題3.5
　問題3.6
3.2 ホーマン軌道が加速度を最小とすることの証明
　問題3.7
　問題3.8
　問題3.9
　問題3.10
　問題3.11
3.3 ランデブー
　問題3.12
　問題3.13
　問題3.14
　問題3.15
3.4 重力圏・作用圏・ヒル圏
3.4.1 3体問題の運動方程式
3.4.2 潮汐力
a) 木星による潮汐力
b) 銀河系による潮汐力
c) αケンタウリによる潮汐力
d) 小惑星セレスによる潮汐力
3.4.3 重力圏
3.4.4 作用圏
3.4.5 ヒル圏
3.5 フライバイの力学
3.5.1 散乱角
　問題3.16
3.5.2 フライバイ後の太陽に対する速度
3.5.3 フライバイ後の太陽に対する軌道要素
　例3.2
　問題3.17
3.5.4 ボイジャー1号の飛行

4 制限3体問題
4.1 制限3体問題の運動方程式
4.2 ヤコビ積分
　問題4.1
4.3 ティスランの判定式
　問題4.2
4.4 円制限3体問題の特殊解
4.4.1 正3角形平衡解
4.4.2 直線平衡解
a) X>1-ν（質点P2より右の領域）：L2
b) -ν<X<1-ν（P1とP2の中間領域）：L1
　問題4.3
c) X<-ν（P2より左の領域）：L3
　問題4.4
　問題4.5
4.5 ゼロ速度曲線
4.6 平衡解の安定性
　問題4.6
4.6.1 正3角形の安定性
　問題4.7
4.6.2 直線平衡解の安定性
4.7 楕円制限3体問題
　問題4.8
　問題4.9
　問題4.10
4.8 正3角形解の永年不安定性
　問題4.11
4.8.1 新しい座標系の導入
4.8.2 永年不安定性
　問題4.12
4.9 正3角形平衡点近傍の微小振動解
　問題4.13
　問題4.14
　問題4.15
　問題4.16

5 定数変化法を用いた摂動論
5.1 摂動論入門
5.1.1 非線形振動
a) 逐次近似法
b) 混合永年項が出ない方法
c) 初期値と積分定数
　問題5.1
　問題5.2
5.1.2 定数変化法の基本
a) 強制振動
b) 非線形振動
5.2 定数変化法
5.2.1 定数変化法の基本方程式
5.2.2 摂動ポテンシャルが速度を含む場合
5.3 ケプラー要素 a, e, I, σ, ω, Ωを用いた運動方程式
5.3.1 ケプラー要素 a, e, I, σ, ω, Ωを用いた運動方程式の導出
5.3.2 惑星方程式の修正
5.4 接触軌道要素
5.5 他の積分定数を用いた運動方程式
5.5.1 a, e, I, ε, ωバー, Ωを用いた運動方程式
　問題5.3
　問題5.4
5.5.2 離心率・軌道傾斜角が小さい場合の運動方程式
　問題5.5
　問題5.6
5.6 ガウスの惑星方程式
5.6.1 R, S, Wを用いた運動方程式
　問題5.7
5.6.2 T, N, Wを用いた運動方程式
　問題5.8
　問題5.9
5.6.3 T, N, Wを用いたガウスの惑星方程式の幾何学的導出
a) Tによる効果
b) Nによる効果
　問題5.10
c) Wによる効果
　問題5.11
5.7 遂次近似法による惑星方程式の解

6 人工衛星の運動
6.1 地球ポテンシャル
6.2 J2項による摂動
6.2.1 J2項による永年摂動
6.2.2 周期摂動
6.2.3 解析解を用いての位置の計算
6.2.4 ケプラーの第3法則と積分定数
6.3 J3による長周期摂動
6.4 月周回衛星
6.5 静止衛星
6.5.1 月・太陽による摂動
a) 月・太陽摂動による摂動関数の永年項
b) 運動方程式とその解
6.5.2 経度に依存する地球ポテンシャルによる摂動
6.5.3 軌道制御
a) 南北制御
b) 東西制御

付録
A ラグランジュ括弧式の評価
　A.1 ラグランジュ括弧式の初等的評価
　問題A.1
　問題A.2
　問題A.3
　A.2 正準変数を用いたラグランジュ括弧式の評価

B ガウスの惑星方程式の導出
　B.1 ガウスの惑星方程式の初等的導出
　問題B.1
　B.2 2体問題の保存量を用いてのガウスの惑星方程式の導出
　問題B.2
　問題B.3
　問題B.4

C 水星の近日点移動量

D 公式
　D.1 ベクトル
　D.2 球面三角公式
　D.3 ルジャンドル多項式
　D.4 真近点離角fの離心近点離角uについてのフーリエ展開
　D.5 ベッセル関数
　D.5.1 離心近点離角のフーリエ展開
　D.5.2 ベッセル関数を用いたr/a, a/r, cosf, sinf, cosu, sinuの展開
　問題D.1
　D.5.3 ベッセル関数の具体的な形
　D.6 ヤコビの楕円関数

E 問題の略解

参考・引用文献
索引

• 『微分方程式で数学モデルを作ろう』
• 「Excel で試す非線形力学」
• 社会現象の計算機実験―MathematicaとExcelを使って
• Excelコンピュータシミュレーション - 数学モデルを作って楽しく学ぼう
• Excelで遊ぶ手作り数学シミュレーション(ブルーバックス)
• 岩波講座 物理の世界 力学〈4〉力学の解ける問題と解けない問題
• 天体と軌道の力学
• 天体の位置と運動 (シリーズ現代の天文学13巻)
• 三体問題 天才たちを悩ませた400年の未解決問題 (ブルーバックス)