ＭＴＧ初心者ルールＱ＆Ａ

[Q]60枚デッキに4枚の《極楽鳥》を入れた。初手7枚に少なくとも1枚《極楽鳥》がある確率は？
[A]カードと確率のときと同様、順番に考えていきましょう。

[Q1]60枚デッキから7枚のカードを引いたときの組合せは何通り？
[A1]これはカードと確率でやった通り、₆₀C₇=FACT(60)/FACT(60-7)/FACT(7)=386206920通り。

[Q2]60枚デッキに4枚の《極楽鳥》を入れた。7枚を引いたとき、《極楽鳥》が「1枚もない」組合せは何通り？
[A2]それは、極楽鳥を除いた56枚から7枚を選ぶ組合せのことなので、₅₆C₇=FACT(56)/FACT(56-7)/FACT(7)=231917400通り。

[Q3]60枚デッキに4枚の《極楽鳥》を入れた。7枚を引いたとき、《極楽鳥》が「1枚もない」確率は？
[A3]231917400÷386206920で答えは0.60050つまり約60%です。

[Q（再掲）]60枚デッキに4枚の《極楽鳥》を入れた。初手7枚に少なくとも1枚《極楽鳥》がある確率は？
[A]少なくとも1枚ということは、1枚もない確率を1から引いた値になるので、1-0.60050=0.39950。つまり約40%の確率で初手にあることになります。

同様に、デッキに3枚、2枚、1枚入れた時と、1ターン目(8枚)、2ターン目(9枚)…までに少なくとも1枚引く確率を表にすると次のようになります。

ターン/枚数	1	2	3	4	8
0	11.667	22.147	31.543	39.950	65.359
1	13.333	25.085	35.418	44.482	70.588
2	15.000	27.966	39.144	48.753	75.113
3	16.667	30.791	42.724	52.772	79.017
4	18.333	33.559	46.160	56.550	82.374
5	20.000	36.271	49.456	60.097	85.252

ちなみに8枚というのは、MTGでは同一カードは4枚までしか入れられませんが、似たような役割のカードを2種類×4枚で8枚とみなした場合です。
なんとなく、4枚入れても初手に40%しか来ないというけれども、5ターン待って合計12枚引けば1枚ぐらい引けるのではないかと思いがちですが、これを見ると5ターン待っても60%の確率でしか引けないということです。また1枚挿しのカードは、大量ドローやライブラリーサーチで持ってこようとするのを除けば、基本的に引けたらラッキーぐらいの扱いでなければいけないということです。


[Q]60枚デッキに24枚の土地を入れた。初手7枚中、土地が0〜7枚ある確率はそれぞれいくつ？
[A]おおそうだな！（今さら）
カードと確率ではいきなり3ターン後(10枚の時点)を調べましたが、もっと簡単に初手7枚中に土地が来る確率はどうでしょう。
60枚のカードから7枚を引いたときの組合せの数はすぐ上でもやったのと同様、₆₀C₇=FACT(60)/FACT(60-7)/FACT(7)=386206920通り。
その中に土地が3枚ある組合せの数とは、土地24枚から3枚を引く組合せの数×土地以外36枚から4枚を引く組合せの数なので、
₂₄C₃×₃₆C₄=(FACT(24)/FACT(24-3)/FACT(3))*(FACT(36)/FACT(36-4)/FACT(4))=119223720通り。
これを上の組合せ総数で割れば、3枚ある確率は30.87%となります。
同様に、0〜7まで計算すると次のようになります。

枚数	確率(%)
0	2.161
1	12.104
2	26.941
3	30.870
4	19.645
5	6.933
6	1.255
7	0.090

ついでに土地を22枚入れた場合は次のようになります。

枚数	確率(%)
0	3.268
1	15.726
2	30.022
3	29.434
4	15.978
5	4.793
6	0.734
7	0.044

したがって、「何か土地事故が多いなー」と思っても、土地24枚で7回に1回、土地22枚なら5回に1回は初手に土地1枚以下の手札が来てしまうのは正常といえます。
もし、明らかに事故率がこれよりも多いのであれば、シャッフルの方法を見直した方が良いかもしれませんね。



[Q]60枚デッキに4枚の《稲妻》を入れた。後攻の5ターン目までに《稲妻》は期待値的に何枚引ける？
[A]MTGのカードの中には、「序盤に引けると嬉しいけれども、終盤に引いても意味がない」「1枚はぜひ手元にほしいけれども、2枚以上持っても意味がない」といったカードが結構あります。例外として、火力や除去といった呪文は、序盤から終盤までいつ何枚引いてもわりと嬉しい類のカードです。このときは、期待値（何枚引くか）の計算も意味があります。期待値の計算は、確率よりもずっと簡単です。なぜならば、後攻の5ターン目つまり12枚引いたとき《稲妻》を引く枚数の期待値は、単純に
(4/60)*12=0.8（枚）
これでOKだからです。期待値が、少なくとも1枚引く確率よりも大きく出る理由は？それは、2枚以上引く可能性が入っているからです。