MTG(Magic: The Gathering)を始めたい、始めたばかりという方向けに、基本的なルールや情報をまとめています。

[Q]60枚デッキに24枚の土地を入れた。3ターン目まで(※後攻で)毎ターン土地を置ける確率は何%?
[A]次のように順番に考えていきます。

[Q1]5枚のカードをシャッフルしたら、カードの並び順は何通り?
[A1]1枚目のカードには5種類の選択肢があります。2枚目には4種類、3枚目には3種類、4枚目には2種類。最後の1枚は余りなので選択肢はありません。
つまり、5*4*3*2*1=120通り。
これを 5!(5の階乗)と表記します。Excelでは、「=FACT(5)」で計算できます。

[Q2]60枚デッキをシャッフルしたら、カードの並び順は何通り?
[A2]60!通りです。Excelで=FACT(60)とすると、約8.3E+81になります。

[Q3]60枚デッキから10枚のカードを引いたときに現れるカードの並び順は何通り?
[A3]答えは
=FACT(60)/FACT(60-10)
となります。
つまり、引かなかった50枚分は、どんな並び順でも1と数えればいいので、60枚分の並び順の数を、50枚分の並び順の数で割ればOKです。
これを数学的には順列と言い、60P10と表記します。
ちなみに上の値は約2.7E+17となります。

[Q4]60枚デッキから10枚のカードを引いたときに現れるカードの組合せは何通り?
[A4]今度は組合せです。組合せ=順列の並び順を無視する=引く10枚分の並び順の数で割ればよい=FACT(60)/FACT(60-10)/FACT(10)
これを組合せ(60,10)=60C10と表記します。
答えは、75394027566 通りです。

ここまで合っているか、5C26C2で確認してみます。
カードを順番に1,2,3…と名付けると、
5C2の組合せは、12,13,14,15,23,24,25,34,35,45の10通り
=FACT(5)/FACT(2)/FACT(3)=10(合っている)
6C2の組合せは、12,13,14,15,16,23,24,25,26,34,35,36,45,46,56の15通り
=FACT(6)/FACT(2)/FACT(4)=15(合っている)

[Q(再掲)]60枚デッキに24枚の土地を入れた。3ターン目まで(※後攻で)毎ターン土地を置ける確率は何%?
これは、確率計算がしやすいように言い換えると、
60枚デッキに24枚の土地を入れた。10枚カードを引いたとき、3枚以上土地を引く確率は?
となります。そこで引き続き…

[Q5]60枚デッキに24枚の土地を入れた。10枚カードを引いたとき、丁度3枚土地を引く組み合わせは何通り?
[A5]それは、24枚から3枚を選ぶ組合せ×36枚から7枚を選ぶ組合せのことなので、
24C3*36C7
=(FACT(24)/FACT(24-3)/FACT(3))*(FACT(36)/FACT(36-7)/FACT(7))
= 16895704320 通りとなります。

[Q6]60枚デッキに24枚の土地を入れた。10枚カードを引いたとき、丁度3枚土地を引く確率は?
[A6]それは、上の組合せの数を、60C10で割った値なので、
0.22409871 つまり22.4%の確率で3枚引くことになると分かります。

[Q7]60枚デッキに24枚の土地を入れた。10枚カードを引いたとき、3枚以上(少なくとも3枚)土地を引く確率は?
[A7]少なくとも3枚ということは、0枚、1枚、2枚引く確率の和を、1から引いた値になります。Excelで計算すると、
10枚中土地が1枚もない確率=約0.00337
10枚中土地が1枚の確率=約0.02997
10枚中土地が2枚の確率=約0.11078
なのでこれらの和を1から引くと、答えは0.85588。
ちなみに土地を22枚にして計算すると、答えは0.79633となります。

これから言えることは、土地を24枚入れると(後攻の)3ターン目(先攻なら4ターン目)までに土地を3枚出せる確率は85%ありますが、22枚に減らすと80%を切ってしまうということです。
ただし、初手7枚中土地が1枚以下または6枚以上なら普通マリガンするので、マリガンを考慮するともう少し上がると思います。

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