偏微分方程式 (理工学者が書いた数学の本 3)

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偏微分方程式 (理工学者が書いた数学の本 3)

目次

第1章　序章―基本と解説
1 偏微分方程式の形について
2 数理物理学に現れる偏微分方程式
2.1 ポアソン方程式とラプラス方程式
2.2 熱伝導方程式（拡散方程式）
2.3 波動方程式
2.4 流体力学の方程式
3 簡単な偏微分方程式とその解
3.1 偏微分方程式と一般解
3.2 完全解と任意パラメターをもつ解
3.3 線形同次方程式と解の重ね合わせの原理
4 デルタ関数とグリーン関数
練習問題1

第Ⅰ部　方程式の種類と解の性質

第2章　一階偏微分方程式
1 物理的な解説
1.1 線形方程式の例
1.2 準線形方程式の例
2 準線形の一階偏微分方程式
2.1 幾何学的説明（モンジュ軸および特性曲線）
2.2 初期値問題（コーシー問題）
2.3 一般解と任意関数
3 一般の非線形の一階偏微分方程式（2変数）
3.1 幾何学的説明（モンジュ錐）
3.2 完全解（完全積分）と一般解
3.3 特異解（特異積分）
3.4 特性微分方程式
4 固有振動のモード
練習問題2

第3章　波動方程式
1 二階偏微分方程式の三つの型
2 1次元波動方程式のコーシー問題
3 弦の振動（特性曲線の方法）
4 弦の振動（変数分離法, 固有値問題）
5 キルヒホフの公式とポアソンの公式（3次元）
6 2次元および1次元の解
7 波動の伝播とホイヘンスの原理
8 非同次波動方程式と遅延ポテンシャル
9 一意性の定理
10 双曲型方程式のコーシー問題と特性曲線
練習問題3

第4章　熱伝導方程式
1 棒の熱伝導問題（コーシー問題, δ関数）
2 半無限の棒の熱伝導（誤差関数）
3 有限の棒の熱伝導問題および解の一意性
4 最大値原理（最大・最小の原理）
練習問題4

第5章　ラプラス方程式とポアソン方程式
1 説明と物理的考察
1.1 ラプラス方程式の基本解
1.2 物理的意味
2 2次元ラプラス方程式と境界値問題
3 グリーンの公式
4 調和関数の基本的性質
5 境界値問題の安定化
6 グリーン関数とディリクレ問題
7 ノイマン関数とノイマン問題
8 球に対するディリクレ問題
9 ポアソン方程式のディリクレ問題
練習問題5

第6章　バーガース方程式とKdV方程式
1 バーガース方程式
1.1 コウル-ホップの変換
1.2 定常解（衝撃波）
1.3 初期値問題の例（3角波解）
2 KdV方程式
2.1 孤立波および周期波解（定常解）
2.2 無限個の保存量
2.3 二つのソリトンの相互作用
練習問題6

第Ⅱ部　方程式の解法

第7章　変数分離法（特殊関数のいろいろ）
1 膜の振動（ベッセル関数）
2 水波（分散性波動, 正弦関数）
3 球座標のラプラス方程式（球面関数）
3.1 ルジャンドル多項式
3.2 ルジャンドル陪関数と球面関数
4 境界値問題への球面関数の応用
5 ヘルムホルツ方程式（球ベッセル関数）
6 シュレディンガー方程式（水素原子, ラゲール多項式）
練習問題7

第8章　差分法（数値計算）
1 差分方程式
2 熱伝導問題の差分解
3 差分方程式の安定性と収束性
4 陰差分方程式
練習問題8

第9章　積分変換法, グリーン関数法, 相似解法
1 3次元熱伝導の初期値問題（フーリエ変換法）
2 半無限の棒の熱伝導問題（ラプラス変換法）
3 グリーン関数法
3.1 非同次のヘルムホルツ方程式
3.2 非同次波動方程式
4 相似解の方法
4.1 熱伝導方程式
4.2 バーガース方程式

第10章　コーシー問題の解（べき級数解）

あとがき
・R.クーラン, D.ヒルベルト『数理物理学の方法』（1～4）
・P.R.Garabedian 『Partial Differential Equations』
・G.B.Witham 『Linear and Nonlinear Waves』
・コシリヤコフ・グリニエル・スミルノフ『偏微分方程式』
・高木貞治『解析概論』
・スミルノフ『高等数学教程』（1～12）
・今井功『流体力学』
・谷内俊弥・西原功修『非線形波動』
・今村勤『物理とグリーン関数』
・G.L.ラムJr.『ソリトン』
・R.D.Richtmyer 『Deifference Methods for Initial Value Problems』
・G.I.Balenblatt 『Similarity, Self-Similarity and Intermediate Asymptotes』

練習問題の略解
索引

あとがき―もっと先に進むために（フーリエ解析 (理工学者が書いた数学の本 6)）

小出昭一郎『物理現象のフーリエ解析』
藤田宏『解析入門Ⅴ』
小泉澄之『フーリエ解析』
M.J.ライトヒル『フーリエ解析と超関数』
吉田耕作・加藤敏夫『大学演習・応用数学』
猪狩惺『フーリエ級数』
河田龍夫『フーリエ解析』
J.ミクシンスキー『演算子法（上）,（下）』
吉田耕作『演算子法―一つの超関数論入門』
近藤洋逸『数学思想史序説』
竹之内脩「フーリエ解析―その発祥と発展」『数学セミナー』（1977年2月号, 日本評論社）
矢野茂樹「フーリエ解析の思想史」『日本物理学会誌』, 第25巻1号（1970）, 日本物理学会
洲之内源一郎「実関数論50年―Fourier解析関係」, 『数学』, 第37巻1号（1985）, 岩波書店

練習問題の略解
索引

失敗の研究