好奇心を刺激する算数
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uedam1984b 2020年08月23日(日) 20:20:07履歴
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ここでは、小・中学生が”数学”を楽しむためのヒントを集めてみました。
ウィキペディアによる素数の解説は、ここ
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計算してみた
予備知識
自然数、奇数、偶数、倍数、公倍数
素数の定義
素数の定義：「1 と自分自身でしか割り切れない」（既約性）
参考→抽象代数学において、環の既約元の概念（一部の環では素元の概念と一致する）に抽象化され一般的に取り扱われる。
合成数
素因数分解
素数の見つけ方・判定法
エラトステネスの篩・篩法
素数判定法特殊な形をした素数
メルセンヌ素数: 2^n − 1 (n = 2, 3, 5, 7, …)
フェルマー素数: 22n + 1
オイラー素数: n2 + n + 41
階乗素数: n! + 1 (n = 1, 2, 3, 11, 27, 37, 41, 73, 77, 116, 154, …)
階乗素数 n! − 1 (n = 3, 4, 6, 7, 12, 14, 30, 32, 33, 38, 94, 166, …)
素数階乗素数: n# ± 1（n# は n の素数階乗）
レピュニット R2, R19, R23, …（Rn は 1 が n 個続く数、通常は基数を 10 にとる）
双子素数（差が 2 である2つの素数）
いとこ素数（差が 4 である2つの素数）
セクシー素数（差が 6 である2つの素数）
ソフィー・ジェルマン素数・安全素数: n と 2n + 1 がともに素数であるとき、n をソフィー・ジェルマン素数、2n + 1 を安全素数という。
素数の分布
素数定理
10までの素数の数：
100までの素数の数：
200までの素数の数：
300までの素数の数：
400までの素数の数：
素数の可視化
素数に関する未解決問題
双子素数の予想: 双子素数は無数に存在する、という予想。
ゴールドバッハの予想: 6 以上の全ての偶数は 2 つの奇素数の和で表すことができる、という予想。
弱いゴールドバッハ予想：7 以上の全ての奇数は 3 つの素数の和で表すことができる、という予想。ただしHarald Helfgottによる証明が2013年に発表されている。
ルジャンドル予想:全ての n に対し、n2 と (n + 1)2 の間に素数が存在するかという予想。
既知のフェルマー素数以外に、フェルマー数にフェルマー素数は存在するか？
メルセンヌ素数は無数に存在するか？
ソフィー・ジェルマン素数は無数に存在するか？
フィボナッチ数列の項には素数が無数に出現するか？
幸運数でも素数でもあるような数は無限に存在するか？
n2 + 1 の形の素数は無数に存在するか？ (ブニャコフスキー予想)
素数に関連する問題
リーマン予想
関連図書
エッセイ・数学一般書
数論
幾何学
教科書・学参
ここでは、小・中学生が”数学”を楽しむためのヒントを集めてみました。
ウィキペディアによる素数の解説は、ここ
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計算してみた 
- 初期値255までのアラレ数列
- n=31までのメルセンヌ素数
予備知識
自然数、奇数、偶数、倍数、公倍数
素数の定義
素数の定義：「1 と自分自身でしか割り切れない」（既約性）
参考→抽象代数学において、環の既約元の概念（一部の環では素元の概念と一致する）に抽象化され一般的に取り扱われる。
合成数
素因数分解
素数の見つけ方・判定法
エラトステネスの篩・篩法
素数判定法
- リュカ・テスト - pが(4j + 3)型素数のメルセンヌ数に対する判定法
特殊な形をした素数
メルセンヌ素数: 2^n − 1 (n = 2, 3, 5, 7, …)
フェルマー素数: 22n + 1
オイラー素数: n2 + n + 41
階乗素数: n! + 1 (n = 1, 2, 3, 11, 27, 37, 41, 73, 77, 116, 154, …)
階乗素数 n! − 1 (n = 3, 4, 6, 7, 12, 14, 30, 32, 33, 38, 94, 166, …)
素数階乗素数: n# ± 1（n# は n の素数階乗）
レピュニット R2, R19, R23, …（Rn は 1 が n 個続く数、通常は基数を 10 にとる）
双子素数（差が 2 である2つの素数）
いとこ素数（差が 4 である2つの素数）
セクシー素数（差が 6 である2つの素数）
ソフィー・ジェルマン素数・安全素数: n と 2n + 1 がともに素数であるとき、n をソフィー・ジェルマン素数、2n + 1 を安全素数という。
素数の分布
素数定理
10までの素数の数：
100までの素数の数：
200までの素数の数：
300までの素数の数：
400までの素数の数：
素数の可視化
- ウラムの螺旋
素数に関する未解決問題
双子素数の予想: 双子素数は無数に存在する、という予想。
ゴールドバッハの予想: 6 以上の全ての偶数は 2 つの奇素数の和で表すことができる、という予想。
弱いゴールドバッハ予想：7 以上の全ての奇数は 3 つの素数の和で表すことができる、という予想。ただしHarald Helfgottによる証明が2013年に発表されている。
ルジャンドル予想:全ての n に対し、n2 と (n + 1)2 の間に素数が存在するかという予想。
既知のフェルマー素数以外に、フェルマー数にフェルマー素数は存在するか？
メルセンヌ素数は無数に存在するか？
ソフィー・ジェルマン素数は無数に存在するか？
フィボナッチ数列の項には素数が無数に出現するか？
幸運数でも素数でもあるような数は無限に存在するか？
n2 + 1 の形の素数は無数に存在するか？ (ブニャコフスキー予想)
素数に関連する問題
リーマン予想
関連図書
エッセイ・数学一般書
数論
- 零の発見―数学の生い立ち (岩波新書)
- 『異端の数ゼロ――数学・物理学が恐れるもっとも危険な概念』
- 『フィボナッチ―自然の中にかくれた数を見つけた人』
- 『不思議な数列フィボナッチの秘密』
- 素数はなぜ人を惹きつけるのか (朝日新書)
- 素数入門―計算しながら理解できる (ブルーバックス)
- 素数が奏でる物語―2つの等差数列で語る数論の世界 (ブルーバックス)
- 『素数に憑かれた人たち ~リーマン予想への挑戦~』
- 『素数ゼミの謎』
- 『素数の音楽』
- 大学入試問題で語る数論の世界―素数、完全数からゼータ関数まで (ブルーバックス)
- 円周率πの不思議―アルキメデスからコンピュータまで (ブルーバックス)
- πの歴史 (ちくま学芸文庫)
- 『不思議な数πの伝記』
- 対数eの不思議―無理数eの発見からプログラミングまで (ブルーバックス)
幾何学
教科書・学参
- 新体系・中学数学の教科書 上 (ブルーバックス)
- 新体系・中学数学の教科書 下 (ブルーバックス)
- 新体系・高校数学の教科書 上 (ブルーバックス)
- 新体系・高校数学の教科書 下 (ブルーバックス)
- 自然の中の数学 上 (シュプリンガー数学リーディングス)
- 自然の中の数学 下 (シュプリンガー数学リーディングス)
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