トーリック多様体入門―扇の代数幾何 (すうがくの風景)

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トーリック多様体入門―扇の代数幾何 (すうがくの風景)

目次

1. 錐体と双対錐体
1.1 凸多角錐体
1.2 双対錐体
1.3 カラテオドリーの定理とその応用

2. 扇の代数幾何
2.1 アフィン扇と一般の扇
2.2 扇の位相
2.3 完備扇
2.4 扇の正則写像
2.5 正則写像のスタイン分解
2.6 ファイバー束
2.7 ブローアップとアンプル準直線束
2.8 扇の重心細分
2.9 特異点の解消
2.10 扇の因子
2.11 分数イデアルの連接系
2.12 整凸多面体と射影的扇

3. 2次元の扇
3.1 2次元非特異完備扇
3.2 群が作用する2次元非特異扇
3.3 2次元特異点の解消

4. 代数的トーラス
4.1 代数的トーラスの正則変換
4.2 代数的トーラスの座標系
4.3 2次元代数的トーラス上の代数曲線
4.4 代数曲線のニュートン多角形

5. 扇の多様体化
5.1 アフィン代数多様体
5.2 アフィン半群環
5.3 半群環のC値点
5.4 加法半群と半群環のイデアル
5.5 アフィントーリック多様体
5.6 代数多様体
5.7 トーリック多様体
5.8 コンパクトなトーリック多様体
5.9 トーリック多様体の直積
5.10 非特異トーリック多様体
5.11 トーリック多様体の同変正則写像

参考文献
索引
編集者との対話

群上の調和解析 (すうがくの風景)

目次

まえがき

1. 調和解析の歩み
1.1 微積分がスタート
1.2 Eulerの功績
1.3 弦振動の問題
1.4 Fourierと熱伝導の問題
1.5 厳密主義とFourier解析の発展
1.6 関数解析の始まり
1.7 群上の調和解析
1.8 ウェーブレット変換の登場

2. 位相群と表現論
2.1 群と位相の基礎知識
2.1.1 群
2.1.2 有限Abel群上の調和解析
2.1.3 有限群上の調和解析
2.1.4 位相空間
2.2 局所コンパクト群とHaar測度
2.2.1 局所コンパクト群
2.2.2 不変測度と不変積分
2.2.3 モジュラー関数
2.3 位相群の表現
2.3.1 表現の定義
2.3.2 いろいろな表現

3. 群上の調和解析
3.1 行列要素とその直交性
3.1.1 2乗可積分表現
3.1.2 有限次元表現の指標
3.2 一般化されたFourier変換
3.2.1 Peter-Weylの定理
3.2.2 作用素値Fourier変換
3.2.3 スカラー値Fourier変換
3.2.4 不変超関数と指標
3.3 逆変換公式とPlancherelの公式
3.3.1 逆変換公式とPlancherel測度
3.3.2 Plancherelの公式

4. 具体的な例
4.1 T
4.2 Rn
4.3 SU(2)
4.4 M(2)
4.5 SL(2,C)
4.6 SL(2,R)
4.7 H1
4.8 ax+b群

5. 2乗可積分表現とウェーブレット変換
5.1 2乗可積分表現
5.2 いろいろな変換
5.2.1 斉次多項式の展開
5.2.2 Bergman核
5.2.3 Gabor変換
5.2.4 ウェーブレット変換

参考文献
索引
編集者との対話

結び目と量子群 (すうがくの風景)

目次

まえがき

0. 序章

1. 結び目とその不変量
1.1 結び目
1.1.1 結び目の数学的取り扱い
1.1.2 結び目の図
1.1.3 ライデマイスター変形
1.1.4 結び目の例
1.1.5 向きのついた結び目
1.2 不変量
1.2.1 結び目の見分け方
1.2.2 結び目の不変量
1.2.3 不変量の例
1.3 ジョーンズ多項式
1.3.1 ジョーンズ多項式の定義
1.3.2 ジョーンズ多項式の計算法
1.3.3 鏡像のジョーンズ多項式
1.4 状態和を用いた不変量
1.4.1 状態和
1.4.2 3彩色数
1.4.3 カウフマンの状態和
1.4.4 ライデマイスター変型との関係
1.4.5 ジョーンズ多項式との関係
1.4.6 ジョーンズ多項式の正当性
1.5 さまざまな多項式不変量
1.5.1 アレキサンダー多項式
1.5.2 ホンフリー多項式
1.5.3 カウフマン多項式
1.5.4 平行化

2. 組紐群と結び目
2.1 群
2.1.1 紐と群
2.1.2 群の例
2.1.3 部分群
2.1.4 正規部分群と商群
2.1.5 準同型写像
2.2 対称群
2.2.1 対称群の定義
2.2.2 符号
2.2.3 生成元と関係式
2.3 組紐群
2.3.1 組紐の定義
2.3.2 群構造
2.3.3 生成元と関係式
2.4 組紐からできる結び目
2.4.1 組紐の閉包
2.4.2 マルコフ変形
2.5 マルコフトレース
2.5.1 群環
2.5.2 トレース

3. リー群とリー環
3.1 リー群
3.1.1 対称性
3.1.2 直交群とユニタリ群の定義
3.1.3 1次元空間に作用する群
3.1.4 2次元空間に作用する群
3.1.5 半直積
3.1.6 O(2,R)の構造
3.1.7 2面体群
3.1.8 U(2,C), SU(2,C)の構造
3.1.9 SU(2,C)とSO(3,R)との対応
3.1.10 一般線形群GL(2,C)
3.1.11 合同変換群, アフィン変換群
3.2 群の線形表現
3.2.1 線形変換と線形表現
3.2.2 不変部分空間
3.2.3 既約表現
3.2.4 半単純な表現
3.3 群のさまざまな表現
3.3.1 置換表現
3.3.2 1次表現
3.3.3 双対表現
3.3.4 テンソル積表現
3.3.5 対称群のテンソル積への作用
3.4 GL(2,C)のさまざまな線形表現
3.4.1 自然表現, 1次表現
3.4.2 自然表現のテンソル積表現
3.4.3 自然表現の対称テンソル積表現
3.5 リー環
3.5.1 リー群の等質性
3.5.2 曲率
3.5.3 接平面
3.5.4 リー群の接空間
3.5.5 リー群とリー環の対応
3.5.6 リー環の定義
3.5.7 リー環の線形表現
3.5.8 対数写像
3.5.9 リー群の表現に対応するリー環の表現
3.5.10 双対表現, テンソル積表現
3.5.11 gl(2,C)の表現
3.6 もっとも基本的なリー環sl(2,C)
3.6.1 定義
3.6.2 生成元と関係式
3.6.3 dl(2,C)の表現
3.7 リー環の展開環
3.7.1 テンソル積代数
3.7.2 展開環の定義
3.7.3 リー環の表現の拡張
3.7.4 sl(2,C)の展開環
3.8 中心化環
3.8.1 作用と可換な自己準同型のなす線形環Endg(V)
3.8.2 Endg(V)の構造
3.8.3 テンソル積表現の中心化環
3.8.4 sl(2,C)の場合

4. 量子群（量子展開環）
4.1 量子群の導入
4.1.1 量子化
4.1.2 対称性の量子化
4.1.3 展開環の量子化
4.2 量子群の表現
4.2.1 線形表現
4.2.2 自然表現
4.2.3 テンソル積表現
4.2.4 テンソル積の結合律
4.2.5 自然表現の対称テンソル積
4.2.6 テンソル積に関する結合律の証明
4.2.7 リー環の余可換性
4.3 ホップ代数
4.3.1 積の余積
4.3.2 ホップ代数としての群環
4.3.3 ホップ代数としてのリー環の展開環
4.3.4 ホップ代数としての量子展開環
4.4 R-行列
4.4.1 置換の量子化
4.4.2 中心化環
4.4.3 T2(V)の中心化環
4.4.4 Tn(V)の中心化環
4.4.5 ジョーンズ環
4.4.6 自然表現の場合のR-行列
4.5 トレース
4.5.1 組紐群の表現
4.5.2 マルコフトレース
4.5.3 結び目不変量
4.6 普遍R-行列
4.6.1 R-行列の一般化
4.6.2 三角関係式と組紐関係式
4.6.3 普遍R-行列の自然表現
4.6.4 既約表現上の普遍R-行列
4.6.5 既約表現に対応する不変量
4.6.6 ジョーンズ多項式の平行化との関係
4.6.7 一般の量子群と結び目の不変量

参考図書
索引
編集者との対話

超幾何関数 (すうがくの風景)

目次

0. 雛形

1. 超幾何関数の3つの顔
1.1 級数展開
1.2 微分方程式
1.3 積分表示

2. 超幾何関数の仲間を求めて
2.1 級数を変形してみる
2.2 積分表示を変形してみる
2.3 合流

3. 積分表示
3.1 命題1.3.2の証明
3.2 局所系係数のhomology・cohomology
3.3 Grassmann多様体上の超幾何関数
3.4 合流型超幾何関数

4. 級数展開
4.1 アイデア
4.2 GKZ超幾何関数
4.3 GKZ超幾何関数の積分表示

5. 微分方程式
5.1 Accessory parameter
5.2 Rigid局所系
5.3 Okubo型方程式
5.4 Okubo型方程式の拡大・縮小

あとがき
参考文献
索引
編集者との対話

野海_『パンルヴェ方程式』

目次

はじめに

1. ベックルント変換とは
1.1 P11のハミルトン系表示
1.2 方程式から読み取れる解
1.3 ベックルント変換
1.4 ベックルント変換を合成する
1.5 解の生成
1.6 古典解の描像

2. 対称形式
2.1 PⅣの対称形式
2.2 基本的な特殊解
2.3 アフィン・ワイル群
2.4 ベックルント変換
2.5 PⅡの対称形式

3. τ関数
3.1 ポアソン構造とハミルトン系
3.2 τ関数とその微分方程式
3.3 τ関数のベックルント変換
3.4 τ関数のいろんな関係式
3.4.1 6個のτ関数の代数関係式
3.4.2 一直線に並んだ3個のτ関数の関係式
3.4.3 正六角形の周りでは
3.5 PⅡのτ関数
3.5.1 対称形式
3.5.2 ポアソン構造
3.5.3 ハミルトニアン
3.5.4 τ関数の微分方程式
3.5.5 τ関数のベックルント変換
3.5.6 τ関数の関係式

4. 格子上のτ関数
4.1 PⅡの格子
4.2 PⅣの格子
4.3 φ因子と岡本多項式
4.4 An-1型の離散系
4.5 An-1格子上のτ関数

5．ヤコビ-トゥルーディ公式
5.1 ヤング図形とマヤ図形
5.2 ヤコビ-トゥルーディ型の公式
5.3 PⅣとPⅡの例
5.4 シューア関数とφ因子

6. 行列式に強くなろう
6.1 小行列式の基本的性質
6.2 ガウス分解とヤコビの恒等式
6.3 三角行列の対角化
6.4 ブリュッカーの関係式

7. ガウス分解と双有理変換
7.1 f変数の双有理変換
7.2 ガウス分解に由来する双有理変換
7.3 τ関数はどこにいるか
7.4 ヤコビ-トゥルーディ型の明示公式
7.5 A∞型とAn-1型の双有理変換
7.5.1 A∞型の場合
7.5.2 An-1型への移行
7.6 アフィン・ワイル群のマヤ図形への作用

8. ラックス形式
8.1 線形常微分方程式との関係
8.2 PⅡ, PⅣの対称形式とラックス表示
8.2.1 PⅡの場合
8.2.2 PⅣの場合
8.2.3 一般の場合

付録A
A.0 パンルヴェ方程式のプロフィル
A.1 ハミルトン系
A.2 ポアソン構造と正準変換
A.3 リッカチ方程式
A.4 ベックルント変換の計算
A.5 古典解と不定因子
A.6 群の半直積
A.7 カルタン行列とディンキン図形
A.8 デマジュール作用素
A.9 広田の双線形作用素
A.10 外積代数の応用

あとがき
参考文献（抜粋）
・神保道夫：ホロノミック量子場
・河合・竹井：特異摂動の代数解析学
索引
編集者との対話

目次（ソリトンの数理）

まえがき

第1章　KdV方程式の対称性
§1.1 対称性と変換群
§1.2 KdV方程式の対称性
§1.3 Lax表示（線形方程式からのアプローチ）
演習問題

第2章　KdV階層
§2.1 擬微分作用素
§2.2 高次KdV方程式
§2.3 無限個の可換な対称性
§2.4 KP階層
演習問題

第3章　広田方程式と頂点作用素
§3.1 広田微分
§3.2 ｎソリトン
§3.3 頂点作用素
§3.4 双線形恒等式
演習問題

第4章　フェルミオンとそのカルキュラス
§4.1 微分と掛け算のなす代数（ボゾン）
§4.2 フェルミオン
§4.3 Fock表現
§4.4 双対・荷電・エネルギー
§4.5 Wickの定理
演習問題

第5章　ボゾン・フェルミオンの等価性
§5.1 母関数の効用
§5.2 正規積
§5.3 ボゾンの実現
§5.4 Fock空間の同型
§5.5 フェルミオンの実現
演習問題

第6章　変換群とτ関数
§6.1 群の作用とその軌道
§6.2 2次式のなすLie環
§6.3 KP階層の変換群
演習問題

第7章　KdV方程式の変換群
§7.1 KP階層とKdV階層
§7.2 KdV方程式の変換群
演習問題

第8章　有限次元Grassmann多様体とPlucker関係式
§8.1 有限次元Grassmann多様体
§8.2 Plucher座標
§8.3 Plucker関係式
演習問題

第9章　無限次元Grassmann多様体
§9.1 有限次元Fock空間の場合
§9.2 真空の軌道の記述
§9.3 Young図形と指標多項式
演習問題

第10章　双線形恒等式再び
§10.1 双線形恒等式とPlucker関係式
§10.2 Plucker関係式と広田方程式
演習問題

補遺
参考書
演習問題解答
索引

目次（渡辺_ソリトン物理入門）

序文

Ⅰ編　ソリトン入門

1 線形の波
1.1 格子を伝わる波
1.2 波動方程式
1.3 位相速度と群速度
1.4 一方向に進む波
1.5 波動方程式の解
1.6 分散系での波の伝播

2 非線形格子とK-dV方程式
2.1 非線形格子と孤立波
2.2 孤立波と格子の運動
2.3 K-dV方程式
2.4 分散効果と非線形効果
2.5 K-dV方程式の係数の変更
2.6 K-dV方程式の標準形
2.7 K-dV方程式のGalilei変換

3 K-dV方程式の2ソリトン解
3.1 孤立波の相互作用とソリトン
3.2 2ソリトン解の準備
3.3 K-dV方程式の2ソリトン解
3.4 2ソリトン解の具体例
3.5 K-dV方程式の保存量
3.6 K-dV方程式の初期値問題
3.7 ソリトンとさざ波
3.8 ソリトンが現れる物理系―プラズマのイオンプラズマ波
3.9 変形されたK-dV方程式とソリトン

4 戸田格子
4.1 戸田格子のソリトン
4.2 ソリトンの質量, 運動量, エネルギー
4.3 戸田格子の2ソリトン解（Ⅰ）
4.3 戸田格子の2ソリトン解（Ⅱ）―追い越し衝突
4.5 戸田格子の2ソリトン解（Ⅲ）―正面衝突
4.6 非線形LCはしご形回路

5 分散の強い系
5.1 高調波の発生と分散効果
5.2 分散の強い系と非線形Schrodinger方程式
5.3 非線形Schrodinger方程式の包絡ソリトン
5.4 再び分散効果と非線形効果について
5.5 変調不安定
5.6 sine-Gordon方程式

Ⅱ編　ソリトンの理論

6 K-dV形の方程式
6.1 非線形格子の連続体近似（Ⅰ）―K-dV方程式
6.2 非線形格子の連続体近似（Ⅱ）―変形されたK-dV方程式
6.3 分散性と非線形性の釣合い
6.4 空間発展を記述するK-dV方程式
6.5 イオンプラズマ波（Ⅰ）―K-dV方程式
6.6 イオンプラズマ波（Ⅱ）―高次近似
6.7 イオンプラズマ波（Ⅲ）―2次元K-dV方程式
6.8 イオンプラズマ波（Ⅳ）―円筒K-dV方程式

7 非線形Schrodinger方程式
7.1 2次元の非線形性をもつ系
7.2 3次元の非線形性をもつ系
7.3 イオンプラズマ波の非線形Schrodinger方程式
7.4 漸近展開の方法

8 広田の方法
8.1 K-dV方程式
8.2 D-演算子の性質
8.3 2次元K-dV方程式
8.4 ソリトンの共鳴相互作用
8.5 変形されたK-dV方程式

9 逆散乱法
9.1 K-dV方程式とSchrodinger方程式
9.2 sech2xのポテンシャル
9.3 固有値の時間依存性
9.4 逆散乱法
9.5 ソリトン解

Ⅲ編　ソリトンの実験

10 非線形LCはしご回路
10.1 非線形キャパシタの特性
10.2 小振幅正弦波の伝播と分散式
10.3 小振幅パルスの伝播と分散
10.4 ソリトンの励起
10.5 2個のソリトンの衝突
10.6 ソリトンのエネルギー
10.7 弱い散逸を含む回路
10.8 不均一回路のソリトン
10.9 回路の不純物とソリトン
10.10 無衝突衝撃波とソリトン
10.11 正弦波によるソリトンの励起と初期波形への回帰
10.12 基本波と第2高調波の相互作用
10.13 相互インダクタンスのあるLCはしご形回路の孤立波
10.14 軌道不安定

付録1. 双曲線関数について
付録2. 流体の方程式について

参考文献（抜粋）
・戸田盛和『非線形波動とソリトン』
・ラム『ソリトン―理論と応用』
問題解答
索引

すうがくの風景

・群上の調和解析
・トーリック多様体入門―扇の代数幾何
・結び目と量子群
・パンルヴェ方程式―対称性からの入門
・Ｄ加群と計算数学
・特異点とルート系
・超幾何関数
・グレブナー基底

失敗の研究