忘却からの帰還〜Intelligent Design

Are we saying that if we had so desired we could have had an arithmetic in which 2 + 2 does not equal 4 but equals, say, 5? To some critics this seems so outrageous. and so redolent of Orwell's Nineteen Eighty-Four, that it shows the absurdity of any approach which gives convention a significant role in arithmetic. The reply is that this allegedly outrageous consequence does indeed follow from the approach adopted here, but it is not in fact outrageous at all —and nor does it involve brainwashing or the violent disruption of the normal working of our brains. The specific challenge of 2 + 2 = 5 has been answered briefly but effectively in Lakatos' Proofs and Refutations (1976). In the course of an imaginary dialogue between two mathematics students called Gamma and Kappa, we find that Gamma is attracted to the programme of seeking clearer and clearer definitions of the terms used in a proof. In the interests of rigour Gamma wants to make them so clear that there can be no dispute over their interpretation. To explain what he means he adopts the same line as our critic, and appeals to 2 + 2 = 4 as a paradigm case of an indubitable, secure, stable mathematical truth. Gamma is made to declare: 'There is nothing elastic about the meaning of these terms, and nothing refutable about the truth of this presupposition' (p. 101). The reply by Kappa (who has been reading the French mathematician Felix, 1960, pp. 2-3) is swift:

「我々が望むなら、2+2が4に等しくなく、例えば5に等しい算術演算を持つことができる」と我々は言っているのか？　幾人かの批評家にとって、これは非常に過激だと思われるだろう。そして、オーウェルの1984年のことを思い出して、慣例に算術上の重要な役割を与えるアプローチの不合理を示しているというだろう。この反論は、実際にはここで採用されたアプローチに従っていると称しているが、実際にはそれほど過激ではなく、洗脳や脳の正常な働きの激しい崩壊も含まれていない。2 + 2 = 5の具体的な課題は、簡単には答えられたが、ラカトシュの"Proofs and Refutations"（1976）では効果的に答えられている。ガンマとカッパと呼ばれる数学の2人の学生の想像上の対話の中で、ガンマは、証拠に使われる用語のひたすら明確な定義を求めるプログラムに魅力を感じる。論を厳密にするために、ガンマは彼らの解釈を巡る論争がないことを明確にしようとする。彼が何を意味しているかを説明するために、彼は批評家と同じラインを採用し、「2 + 2 = 4」を控えめで安全で安定した数学的真理のパラダイムの場合として訴える。ガンマは、「これらの言葉の意味については弾力性があり、この前提の真理については何も言い換えることはできない」（p.101）と宣言する。カッパ（フランスの数学者、フェリックス、1960年、2〜3頁を読んでいる）の回答は迅速だ：

Kappa: But this is child's play! In certain cases two and two make five. Suppose we ask for the delivery of two articles each weighing two pounds; they are delivered in a box weighing one pound, then in this package two pounds and two pounds will make five pounds!

Gamma: But you get five pounds by adding three weights, 2 and 2 and 1!

Kappa: True, but our operation '2 and 2 make 5' is not addition in the originally intended sense. But we can make the result hold true by a simple stretching of the meaning of addition. Naive addition is a very special case of packing where the weight of the covering material is zero. We have to build this lemma into the conjecture as a condition: our improved conjecture will be '2 + 2 = 4 for "weightless" addition'. The whole story of algebra is a series of such concept- and proof-stretchings. (pp. 101-2)

カッパ：しかし、これは子供の遊びだ！ 場合によっては、2+2は5になる。体さが2ポンドの2つの記事の配信を求めるとしよう。 それらは1ポンドの重さの箱に入れて配送される。そしてこのパッケージでは2ポンド＋2ポンドは5ポンドになる！

ガンマ：しかし、キミは、3つの重さ、2と2と1を加えて5ポンドにしている！

カッパ：それは本当だが、我々の操作 「2+2= 5」は、本来意図した意味ものに、何かを加算したものではない。しかし、加算の意味を単純に広げることで、結果を真に保つことができる。ナイーブな加算は、被覆材料の重量がゼロである梱包という、非常に特別な場合である。この補助定理を条件として推測に組み込む必要がある。我々の改善された推測は、「無重力」の「2 + 2 = 4」になる。 代数の全体の話は、そのような概念と証明の拡張の連続だ。(pp.101-2)

If this supports the view that we could have a convention in which 2 + 2 = 5, then it will be asked: why don't we have it? Why do we say 2 + 2 = 4 rather than 2 + 2 = 5, or all the other things we apparently could say? The objection lurking behind this query is that our current mathematical conventions might be more than 'just' conventions. They might have been selected or reinforced because they 'correspond' to some truth, or because they are informed by some uniquely rational virtue that singles them out.

これが、「2 + 2 = 5」という規約を持つことができるという見解を支持しているなら、なぜそれを持ってはいけないのか？　なぜ「2 + 2 = 5」ではなく「2 + 2 = 4」、あるいは、我々が言えそうな、別なことを言うのか？この異論の背後にある不利な点は、現在の数学的慣習が「正当な」慣習以上のものである可能性があることだ。それらは、何らかの真理に「対応」しているか、ユニークに合理的な美徳によって、それだけを選択するように知らされているために、選択されたり強化されたりしているかもしれない。

The naturalistic response must be to take the question seriously, but to insist that if it has an answer it will not be in terms of our practices 'corresponding' to some mysterious mathematical reality. It will be for some naturalistically explicable psychological and social reasons. Consider, for example, why we might have a preference for what Lakatos called ' weightless' addition (where 2 + 2 = 4), rather than one of the indefinitely large number of alternatives. A sociological answer might appeal to principles of the following kind: to establish a convention for addition means solving a coordination problem, that is, it means getting everybody to adopt the same procedure. Coordination problems are easier to solve if they have a 'salient solution', one that is automatically visible to everyone and where everyone routinely assumes that it is visible to everyone else. Salient solutions are often extreme solutions, ones which lie prominently at the beginning or end of the spectrum of alternatives. Weightless addition may be such an extreme and prominent solution. There are therefore pragmatic reasons connected with the organization of collective action that would favour sayingb 2 + 2 = 4, rather than 2 + 2 = 5 or 6 or 7 or .... As a convention it is probably easier to organize than the others, and therefore more likely to arise histrically.

自然主義的な反応は、真剣にこの問いに対処するものでなければならない。しかし、それに答えがあるとすると、何らかの神秘的な数学的現実に「対応した」我々の実践の言葉ではない。自然科学的に解明可能な心理学的および社会的理由がある。たとえば、無限に多くある代替案の1つでしかない、ラカトシュが「無重力」加算（2 + 2 = 4）と呼んだものを優先する理由を考えてみよう。社会学的な答えは、次のような原則に訴えるものかもしれない。すなわち、「調整問題を解決するための加算手段のための慣習を確立すること、つまり皆に同じ手順を採用させること」である。調整問題は、誰もが自動的に見ることができる「有意なソリューション」があり、誰もが他の人に見えることを日常的に想定している場合、解決しやすくなる。有意なソリューションは、しばしば極端なソリューションであり、選択肢のスペクトルの始めまたは終わりに目立って存在している。無重力の加算は、そのような極端で有意なソリューションでありうる。したがって、2 + 2 = 5または6または7ではなく、2 + 2 = 4と言いたい集団訴訟団体に関連する実用的な理由がある。慣習として、おそらく他の集団より整理が容易である。したがって、組織的に発生する可能性が高くなる。

[ Barry Barnes, David Bloor, and John Henry: "Scientific Knowledge:A Sociological Analysis", 1996, P. 185 ]