安田_振動工学基礎編

　振動論で遊んでみよう！のページに戻る
　物理学30講シリーズのページに戻る

　楽しいサイエンスのページに戻る
　楽しい数学の森のページに戻る

　　フロントページへ戻る

振動工学基礎編

目次

1 緒論
1.1 振動工学
1.2 運動の法則
1.2.1 質点の運動方程式
　例題1.1
1.2.2 質点系の運動方程式
1.2.3 剛体の運動方程式
　例題1.2
1.3 周期関数と調和関数
1.3.1 周期関数
1.3.2 調和関数
　例題1.3
1.3.3 調和関数のベクトル表示
1.3.4 調和関数の複素数表示
　例題1.4
1.4 フーリエ級数とフーリエ積分
1.4.1 フーリエ級数
　例題1.5
1.4.2 フーリエ積分
　例題1.6
演習問題
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6

2 1自由度無減衰系の振動
2.1 自由振動
2.1.1 自由振動
2.1.2 運動方程式
2.1.3 数値積分法による解
2.1.4 自由振動の解析
2.1.5 初期条件と自由振動
　例題2.1
2.1.6 自由振動のエネルギー
2.1.7 上下運動するバネ質量系の自由振動
2.2 調和外力による強制振動
2.2.1 強制振動の解析
2.2.2 強制振動の性質
　例題2.2
2.3 調和変位による強制振動
2.3.1 強制振動
　例題2.3
2.3.2 振動計
2.4 非調和外力による強制振動
2.4.1 周期外力による振動
2.4.2 非周期外力による振動
　例題2.4
2.5 各種の1自由度系
2.5.1 直線運動する系
　例題2.5
2.5.2 回転運動する系
演習問題
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5

3 1自由度減衰系の振動
3.1 減衰力
3.2 自由振動
3.2.1 粘性減衰が作用する系の自由振動
3.2.2 自由振動の性質
　例題3.1
3.2.3 自由振動のエネルギー
3.2.4 対数減衰率
　例題3.2
3.2.5 クーロン摩擦が作用する系の自由振動
3.3 調和外力による強制振動
3.3.1 粘性減衰が作用する系の強制振動
3.3.2 強制振動の性質
　例題3.3
3.3.3 強制振動のエネルギー
　例題3.4
3.3.4 ハーフパワー法
3.3.5 クーロン摩擦が作用する系の強制振動
3.4 非調和外力による強制振動
3.4.1 周期外力による強制振動
3.4.2 非周期外力による強制振動
演習問題
3.1
3.2
3.3

4 2自由度系の振動
4.1 運動方程式
4.2 無減衰系の自由振動
4.2.1 数値積分法による解
4.2.2 固有角振動数と振幅比の決定
4.2.3 一般解
4.2.4 自由振動の性質
　例題4.1
4.2.5 自由振動と初期条件
　例題4.2
4.3 減衰系の自由振動
4.3.1 固有角振動数と振幅比の決定
4.3.2 一般解と自由振動の性質
4.4 無減衰系の強制振動
4.4.1 強制振動の解析
　例題4.3
4.4.2 無減衰系の動吸振器
4.5 減衰系の強制振動
4.5.1 強制振動の解析
4.5.2 減衰のある動吸振器
4.6 各種の2自由度系
4.6.1 直線運動する系
4.6.2 回転運動する系
4.6.3 直線運動と回転運動を伴う系
演習問題
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5

5 多自由度系の振動
5.1 運動方程式
5.1.1 運動方程式
5.1.2 質量マトリックスと剛性マトリックスの性質
　例題5.1
5.2 自由振動
5.2.1 自由振動の解析
　例題5.2
5.2.2 モードベクトルの直交性
　例題5.3
5.2.3 自由振動と初期条件
　例題5.4
5.2.4 振動のエネルギー
5.3 強制振動
5.3.1 強制振動の解析
　例題5.5
5.3.2 理論モード解析法による強制振動
　例題5.6
演習問題
5.1
5.2
5.3
5.4

6 連続体の振動
6.1 弦の振動
6.1.1 運動方程式
6.1.2 自由振動の解析
　例題6.1
6.1.3 モード関数の解析
6.1.4 初期条件と自由振動
　例題6.2
6.1.5 振動のエネルギー
6.1.6 強制振動の解析
　例題6.3
6.2 はりの曲げ振動
6.2.1 運動方程式
6.2.2 自由振動の解析
　例題6.4
6.2.3 モード関数の直交性
6.2.4 振動のエネルギー
6.3 膜の振動
6.3.1 運動方程式
6.3.2 長方形膜の自由振動の解析
6.3.3 モード関数の直交性
6.3.4 振動のエネルギー
演習問題
6.1
6.2
6.3

7 解析力学の基礎
7.1 ハミルトンの原理
7.1.1 ハミルトンの原理
7.1.2 保存力が作用する場合のハミルトンの原理
7.1.3 ハミルトンの原理の適用
　例題7.1
　例題7.2
　例題7.3
　例題7.4
7.1.4 自然境界条件と幾何境界条件
7.2 ラグランジュの方程式
　例題7.5
　例題7.6
　例題7.7
演習問題
7.1
7.2
7.3

8 有限要素法による振動解析
8.1 有限要素法
8.2 弦の振動
8.2.1 形状関数によるたわみの表示
8.2.2 要素のエネルギー計算
8.2.3 系のエネルギーの計算
8.2.4 運動方程式の導出
　例題8.1
8.3 梁の曲げ振動
8.3.1 形状関数によるたわみの表示
8.3.2 要素のエネルギーの計算
　例題8.2
8.4 膜の振動
8.4.1 形状関数によるたわみの表示
8.4.2 要素のエネルギーの計算
演習問題
8.1
8.2
8.3

参考文献（抜粋）
第8章
・Maurice Petyt: Introduction to Finite Element Vibration Analysis (Cambridge University Press)
演習問題略解
索引

音と波の力学

目次

まえがき

1 基本的事項
1.1 波動方程式の解
1.2 位相について
1.3 使用する用語のまとめ

2 離散系から連続体へ
2.1 単振動
2.2 単振動のエネルギー
例題2.1 単振り子
例題2.2 剛体振り子
例題2.3 静振
2.3 減衰振動
例題2.4 具体的な初期値問題
例題2.5 エネルギーの散逸
2.4 強制振動と共振
例題2.6 エネルギー吸収
例題2.7 消費エネルギー
例題2.8 地震計
2.5 連成振動
例題2.9 連成振動の初期値問題
例題2.10 連成振動のエネルギー
例題2.11 二酸化炭素の分子振動
2.6 離散系の波動
例題2.12 縦波の伝播速度
2.7 波動に共通の性質
第2章の演習問題

3 弦を伝わる波
3.1 波動方程式
例題3.1 弦を伝わる速度
例題3.2 初期値問題
3.2 波のエネルギー
例題3.3 球面波と円筒波の幾何学的減衰
3.3 反射と透過
例題3.4 エネルギーの保存
例題3.5 ニュートンリング
3.4 インピーダンス整合
例題3.6 レンズのコーティング
例題3.7 整合層での多重反射
例題3.8 壁による音の遮断
3.5 定在波
例題3.9 一端固定・他端自由の弦
例題3.10 初期値問題
3.6 膜を伝わる波
例題3.11 膜の共振
第3章の演習問題

4 気体中の音波
4.1 音波の方程式
例題4.1 断熱変化の妥当性
例題4.2 気泡を含む水の音速
4.2 導波管
4.3 ヘルムホルツ共鳴器
例題4.3 気柱共振との比較
4.4 水撃現象
4.5 有限振幅の音波
第4章の演習問題

5 弾性波
5.1 体積波
例題5.1 任意の方向の平面弾性波
例題5.2 板厚共振
5.2 発震メカニズム
5.3 反射と屈折
例題5.3 ホイヘンスの原理
例題5.4 斜角超音波センサ
5.4 表面波
例題5.5 粒子の軌道
5.5 丸棒を伝わる波
例題5.6 基本ねじりモード
例題5.7 ピアノの弦
5.6 薄板の共振
第5章の演習問題

6 水の波
6.1 長波長の波
例題6.1 津波の伝播速度
6.2 静振
例題6.2 静振の周期
例題6.3 ファンディ湾の干満
6.3 一般の重力波
例題6.4 水槽内の共振
6.4 表面張力波―重力波
6.5 群速度と波束
例題6.5 位相速度と群速度
6.6 水の波のエネルギー
6.7 航跡波
第6章の演習問題

付録A　数学の補足
A.1 微分演算子
A.2 テイラー展開
A.3 非線型振動と楕円積分
A.4 ベッセル関数

付録B　弾性力学の基礎式
B.1 応力とひずみ
B.2 平衡方程式
B.3 一般化されたフックの法則

付録C　流体力学の基礎式
C.1 連続の式（質量の保存）
C.2 運動方程式（運動量の保存）
C.3 理想気体の状態方程式
C.4 渦なし流れについて
C.5 拡張されたベルヌーイの定理

主な参考図書

バークレー物理学コース3　波動（上・下）
ファインマン物理学Ⅱ　光・熱・波動
楽器の物理学（フレッチャー・ロッシング）
振動論（坪井忠二）
振動論（戸田盛和）
MIT物理　振動・波動（フレンチ）
講談社基礎物理学シリーズ2　振動・波動（長谷川修司）
物理テキストシリーズ7　振動と波動（寺沢徳雄）
機械の力学（吉川他）
共立物理学講座7　連続体力学（角谷典彦）
地震波動（本多弘吉）
岩波講座　地球科学8　地震の物理（金森編）
弾性波動論（佐藤泰夫）
地震の科学（パリティ編集部編）
工学基礎講座7　弾性力学（小林・近藤）
材料力学序説（平尾雅彦）
流体力学（友近晋）
流体力学（今井功）
物理学叢書15　気体力学（リープマン）
海の波（コーニッシュ）
海の波を見る―誕生から消滅まで（光易恒）
ハワイの波は南極から―海の波の不思議（永田豊）
海洋学（ビネ）
The Theory of Sound (Rayleigh)
Stress Waves in Solids (Kolsky)
Wave Propagation in Elastic Solids (Achenbach)
Fundamentals of Acoustics (Kinsler et.al.)
The Physics of Vibrations and Waves (Pain)
Waves in Fluids (Lighthill)
Wave Motion (Billingham and King)
Quantitative Seismology: Theory and Methods (Aki and Richards)
「楽器解体全書 PLUS」（ヤマハ株式会社）
「地震の基礎知識」（防災科学技術研究所）

索引

目次（波動と非線形問題30講 (物理学30講シリーズ)）

第1講　自励振動
抵抗と負抵抗
ファン・デル・ポールの方程式
レイリーの方程式
リエナールの方程式

　Tea Time：発振現象

第2講　ロジスティック方程式
力学系の一般化
ロジスティック方程式

　Tea Time：人口爆発

第3講　ロトカ-ヴォルテラの方程式
生態系の個体数の変化
（1）の図式解法
一般的なロトカ-ヴォルテラの方程式
V(x1, x2, …, xn)空間における流れ

　Tea Time：生態系

第4講　ローレンツ系のカオス
対流
位相空間の体積
レスラー系

　Tea Time：ベナールの渦

第5講　1次元写像のカオス
ロジスティック写像
カオスの出現
周期的分岐
1次元写像

　Tea Time：不連続時間

第6講　簡単な波動方程式
波動方程式
非線形波動
バーガース方程式

　Tea Time：レイリー卿

第7講　コルテヴェーグ-ド・フリース方程式
KdV方程式
ソリトン解
行列式解
ロンスキアン解

　Tea Time：ソリトンの発見

第8講　ラックス形式
KdV方程式に対するラックス形式
KdV方程式に付随するシュレディンガー方程式
一般のラックス形式

　Tea Time：マーチン・クルスカル

第9講　逆散乱法
逆散乱法の要点
ゲルファント-レビタンの方程式
束縛状態の波動関数
波動関数
逆散乱法の適用
Nソリトン解

　Tea Time：逆散乱法とは

第10講　双対格子
1次元格子
双対関係
線形格子
LC回路

　Tea Time：ルビンの壺

第11講　非線形格子波動
戸田格子

　Tea Time：戸田格子の発見

第12講　格子の2ソリトン解
2ソリトン解
行列式表現

　Tea Time：ソリトンと非線形波動方程式

第13講　格子のラックス形式と保存量
周期的な格子
保存量

　Tea Time：保存量

第14講　格子に対するゲルファント-レビタン方程式
格子に対する散乱問題
格子に対するゲルファント-レビタンの方程式
束縛状態の波動関数
波動関数
逆散乱法の適用

　Tea Time：方程式と直観

第15講　格子のNソリトン解
ソリトン解
Nソリトン解

　Tea Time：カチカチボール

第16講　連続体近似
長波長に対する連続体近似
可積分変換

　Tea Time：再帰現象

第17講　いくつかの非線形方程式
積分可能な発展方程式
リゥヴィルの方程式
サイン-ゴルドン方程式
非線形シュレディンガー方程式
ベンジャミン-小野方程式
変形されたKdV方程式

　Tea Time：自己集束

第18講　ラックス形式の拡張
KdVヒエラルキー
AKNS方程式

　Tea Time：虚数を含む方程式

第19講　ベックルント変換
方程式と解の変換
サイン-ゴルドン方程式
戸田格子
KdV方程式
変換のダイヤグラム

　Tea Time：カッツ-メールベッケ系

第20講　広田の直接法
広田の演算子
戸田格子
KdV方程式

　Tea Time：和算

第21講　2次元KdV方程式（KP方程式）
KP方程式
ソリトン解
2ソリトン解

　Tea Time：2次元KdV方程式

第22講　KP方程式のNソリトン解
Nソリトン解
プリュッカーの関係式
行列式の展開

　Tea Time：箱と球の系

第23講　2次元戸田格子
2次元戸田格子
ソリトン解
2ソリトン解
Nソリトン解

　Tea Time：

第24講　可積分系と非可積分系
非可積分系のカオス
エノン-ハイレス系
3粒子の周期格子

　Tea Time：星と日本文化

第25講　球面振り子
自由度と保存量
球面振り子の運動の解

　Tea Time：ヤコビの楕円関数

第26講　剛体の回転
剛体に固定した座標系
角速度
重心の高さ
エネルギーと角運動量の積分

　Tea Time：太陽系はコマの群れ

第27講　軸対称のコマ（ラグランジュのコマ）
対称軸をもつコマ
運動の解

　Tea Time：歳差運動の簡単な説明

第28講　剛体の自由な回転（オイラーのコマ）
自由回転
外力のないときのオイラーの方程式
運動の解

　Tea Time：ネコの曲芸

第29講　非対称な剛体の運動
外力があるときのオイラーの方程式
重力による力のモーメント
コワレフスカヤのコマ
ラグランジュの運動方程式から

　Tea Time：コワレフスカヤ

第30講　コワレフスカヤのコマ
運動の積分
運動方程式の書き換え
変数分離
運動の決定
コワレフスカヤのコマの形

　Tea Time：逆立ちコマ

索引

参考書
・広田良悟『直接法によるソリトンの数理』
・大貫義郎・吉田春夫『力学』岩波講座現代の物理学1
・コワレフスカヤの生涯―孤独な愛に生きる女流数学者

失敗の研究